[논문 리뷰] On the Optimality of Pseudo-polynomial Algorithms for Integer Programming

Fedor V. Fomin, Fahad Panolan외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Formal Methods in Verification인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지수 시간 가설(ETH) 하에 정수계획법(IP)에 대한 날카운 조건부 하한을 확립하여, 최근의 다항식 시간 알고리즘—특히 Jansen와 Rohwedder의 알고리즘—이 거의 최적임을 보여준다. 비록 비음수 행렬일지라도, 상수 개의 제약 조건을 가진 IP를 $ n^{o(m / \log m)} \cdot \|b\|_\infty^{o(m)} $ 시간 내에 해결하는 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하며, 열-매트로이드의 경로 폭이 유계일 경우 상하한이 일치함을 보이고, 장기적으로 남아있던 매개변수화된 IP의 복잡도 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In the classic Integer Programming (IP) problem, the objective is to decide whether, for a given m x n matrix A and an m-vector b=(b_1,..., b_m), there is a non-negative integer n-vector x such that Ax=b. Solving (IP) is an important step in numerous algorithms and it is important to obtain an understanding of the precise complexity of this problem as a function of natural parameters of the input. The classic pseudo-polynomial time algorithm of Papadimitriou [J. ACM 1981] for instances of (IP) with a constant number of constraints was only recently improved upon by Eisenbrand and Weismantel [SODA 2018] and Jansen and Rohwedder [ArXiv 2018]. We continue this line of work and show that under the Exponential Time Hypothesis (ETH), the algorithm of Jansen and Rohwedder is nearly optimal. We also show that when the matrix A is assumed to be non-negative, a component of Papadimitriou's original algorithm is already nearly optimal under ETH. This motivates us to pick up the line of research initiated by Cunningham and Geelen [IPCO 2007] who studied the complexity of solving (IP) with non-negative matrices in which the number of constraints may be unbounded, but the branch-width of the column-matroid corresponding to the constraint matrix is a constant. We prove a lower bound on the complexity of solving (IP) for such instances and obtain optimal results with respect to a closely related parameter, path-width. Specifically, we prove matching upper and lower bounds for (IP) when the path-width of the corresponding column-matroid is a constant.

연구 동기 및 목표

• 지수 시간 가설(ETH) 하에 정수계획법(IP)의 복잡도에 대한 조건부 하한을 확립하는 것.
• 상수 개의 제약 조건을 가진 IP에 대한 다항식 시간 알고리즘의 최적성 분석.
• 제약 행렬의 열-매트로이드의 경로 폭이 유계일 경우 IP의 복잡도를 해결하는 것.
• Cunningham과 Geelen의 분기 폭과 IP에 관한 이전 작업을 경로 폭으로 확장하여 날카운 하한을 제공하는 것.

제안 방법

• 지수 시간 가설(ETH)과 강력한 지수 시간 가설(SETH)을 사용하여 IP 알고리즘의 조건부 하한을 유도한다.
• 기존의 어려운 문제들(예: 3-SUM)을 IP 인스턴스로 감소시켜 문제의 동치성을 통해 하한을 확립한다.
• Steinitz의 보조정리와 근접성 분석을 적용하여 해의 크기를 유 bounds하고 알고리즘 설계를 이끌어낸다.
• 경로 폭이 유계인 매트로이드의 경로 분해를 계산하는 구성적 알고리즘을 도입한다.
• 3-SUM′에서의 감소를 통해 IP 런타임 향상이 3-SUM의 돌풍을 이끌 것임을 보여, 이를 통해 하한을 증명한다.
• 경로 폭이 상수일 경우, 경로 분해에 대한 동적 계획법을 사용하여 IP에 대해 상하한이 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ETH 하에 다항식 시간 IP 알고리즘의 런타임을 상당히 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 Jansen와 Rohwedder의 알고리즘이 하위지수 요소까지 최적인가?
• RQ3 열-매트로이드의 경로 폭이 상수로 유계일 경우 IP의 정확한 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 ETH 하에 IP 알고리즘에서 $ \|b\|_\infty $ 의 의존도를 $ \|b\|_\infty^{o(m)} $ 이하로 줄일 수 있는가?
• RQ5 경로 폭이 유계일 경우와 분기 폭이 유계일 경우의 IP 복잡도 사이에 초다항 격차가 존재하는가?

주요 결과

• ETH 하에, 상수 개의 제약 조건을 가진 IP는 비록 비음수 행렬일지라도 $ n^{o(m / \log m)} \cdot \|b\|_\infty^{o(m)} $ 시간 내에 해결될 수 없다.
• Jansen와 Rohwedder의 알고리즘은 ETH 위반을 초래할 수 있는 어떤 향상도 존재하지 않기 때문에 거의 최적이다.
• 비음수 행렬의 경우, Papadimitriou의 알고리즘에서 해의 크기를 유 bounds하는 구성 요소는 ETH 하에 이미 거의 최적이다.
• 열-매트로이드의 경로 폭이 상수일 경우, IP는 $ (\|b\|_\infty + 1)^{O(\text{path-width})} \cdot n^{O(1)} $ 형태의 상하한이 일치함을 보인다.
• 이 결과는 경로 폭이 유계인 인스턴스에 대해 IP 런타임의 추가 향상은 본질적으로 새로운 알고리즘적 접근이 필요함을 시사한다.
• 논문은 3-SUM의 초다항적 향상이 IP 알고리즘의 유사한 향상으로 이어질 수 있음을 보여, 강력한 복잡도 장벽을 시사한다.