[논문 리뷰] On the outlying eigenvalues of a polynomial in large independent random matrices

Serban T. Belinschi, Hari Bercovici외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 23.

Random Matrices and Applications참고 문헌 59인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대규모 독립 랜덤 행렬의 다항함수에 대한 외곽 고유값의 渐近적 행동을 규명하며, 자유확률론을 비가환 다항식으로 확장한다. 한 행렬의 스파이크가 $ P(A_N, B_N) $의 고유값 분포에서 예측 가능한 외곽 고유값을 유도함을 보이며, 그 위치는 연산자 값의 하위순서 함수에 의해 결정된다. 이는 $ A_N + B_N $에 대한 기존 결과를 임의의 자기수반 다항식으로 일반화한다.

ABSTRACT

Given a selfadjoint polynomial $P(X,Y)$ in two noncommuting selfadjoint indeterminates, we investigate the asymptotic eigenvalue behavior of the random matrix $P(A\\_N,B\\_N)$, where $A\\_N$ and $B\\_N$ are independent Hermitian random matrices and the distribution of $B\\_N$ is invariant under conjugation by unitary operators. We assume that the empirical eigenvalue distributions of $A\\_N$ and $B\\_N$ converge almost surely to deterministic probability measures $\\mu $ and $\ u$, respectively. In addition, the eigenvalues of $A\\_N$ and $B\\_N$ are assumed to converge uniformly almost surely to the support of $\\mu$ and $\ u,$ respectively, except for a fixed finite number of fixed eigenvalues (spikes) of $A\\_N$. It is known that almost surely the empirical distribution of the eigenvalues of $P(A\\_N,B\\_N)$ converges to a certain deterministic probability measure $\\eta$ (sometimes denoted $\\eta=P^\\square(\\mu,\ u)$) and, when there are no spikes, the eigenvalues of $P(A\\_N,B\\_N)$ converge uniformly almost surely to the support of $\\eta$. When spikes are present, we show that the eigenvalues of $P(A\\_N,B\\_N)$ still converge uniformly to the support of $\\eta$, with the possible exception of certain isolated outliers whose location can be determined in terms of $\\mu,\ u,P$, and the spikes of $A\\_N$. We establish a similar result when $B\\_N$ is replaced by a Wigner matrix. The relation between outliers and spikes is described using the operator-valued subordination functions of free probability theory. These results extend known facts from the special case in which $P(X,Y)=X+Y$.

연구 동기 및 목표

• 덧셈 모델인 $ A_N + B_N $ 외의 경우로 고유값 외곽 고유값 이론을 일반화하기 위해.
• $ A_N $의 고정된 수의 스파이크가 있는 경우 $ P(A_N, B_N) $의 외곽 고유값의 위치와 수를 특성화하기 위해.
• 스파이크와 다항식 $ P $ 사이의 결정론적 관계가 외곽 고유값을 유도하며, 이를 연산자 값의 하위순서 함수를 사용하여 증명하기 위해.
• $ B_N $가 위그너 행렬로 대체되는 경우로 프레임워크를 확장하여, 변형된 위그너 유형 모델의 외곽 고유값을 포괄하기 위해.

제안 방법

• 연산자 값의 자유확률론, 특히 하위순서 함수를 사용하여 $ P(A_N, B_N) $의 스펙트럼 행동을 모델링하기 위해.
• 유니타리 불변성과 경험적 고유값 분포의 수렴을 가정하여 $ A_N $와 $ B_N $ 간의 강한 渐近적 자유성 적용하기 위해.
• 자유성과 수렴 정리를 적응하여 $ P(A_N, B_N) $의 리졸베이트를 분석하고, 가족 $ \mathcal{F}_N $ 의 수렴을 이끌기 위해.
• 바이탈리-몬테르 정리와 해석함수의 영점에 관한 허리츠 정리를 사용하여 고유값 수세기 함수의 수렴을 증명하기 위해.
• 잠재적 외곽 고유값 주변에서 리졸베이트의 정규 가족을 확립하여 균일 수렴을 보장하기 위해.
• GUE 사례와의 비교를 통해 편미분 기반 접근을 사용하여 결과를 위그너 행렬 $ X_N/\sqrt{N} $ 로 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $ P $ 가 비가환 자기수반 다항식이라면, $ A_N $ 의 고유값 분포에서의 스파이크는 $ P(A_N, B_N) $ 의 고유값에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 외곽 고유값의 위치는 $ A_N $ 의 스파이크, 측도 $ \nu $, 그리고 다항식 $ P $ 로부터 예측할 수 있는가?
• RQ3 연산자 값의 하위순서 함수는 비가환 랜덤 행렬 다항식의 스펙트럼 외곽 고유값을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 유니타리 불변 $ B_N $ 가 아닌 위그너 행렬이 존재할 경우, $ P(A_N, X_N/\sqrt{N}) $ 의 외곽 고유값 스펙트럼은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ5 외곽 고유값이 보이지 않더라도 $ P(A_N, B_N) $ 의 블록 고유값 분포는 스파이크의 존재를 드러낼 수 있는가?

주요 결과

• $ P(A_N, B_N) $ 의 외곽 고유값은 $ A_N $ 에 스파이크가 있을 때만 존재하며, 그 위치는 $ P $, $ \mu $, $ \nu $ 에 의해 유도된 하위순서 함수의 고정점에 의해 결정된다.
• 외곽 고유값의 수는 유한하며 $ A_N $ 의 스파이크 수와 같으며, 각 스파이크는 최대 하나의 외곽 고유값을 기여한다.
• $ P(A_N, B_N) $ 의 고유값은 거의 확실히 균일하게 수렴하여 제한 측도 $ \eta = P^{\square}(\mu, \nu) $ 의 지지에 도달하며, 고립된 외곽 고유값을 제외한 나머지 부분에 대해 성립한다.
• 위그너 행렬 편미분의 경우에도 동일한 외곽 고유값 메커니즘이 적용된다: $ A_N $ 에 스파이크가 있을 때만 외곽 고유값이 나타나며, 그 위치 역시 다시 하위순서 함수에 의해 결정된다.
• 리졸베이트 $ \mathcal{F}_N $ 가 해석적 극한으로 수렴함을 보장함으로써 고유값 수세기 함수의 수렴이 가능해지며, 허리츠 정리와 같은 해석적 도구의 사용이 가능해진다.
• 결과는 BBP 단계 전이와 이전의 덧셈 변형 결과를 비가환 랜덤 행렬의 임의의 자기수반 다항식으로 일반화한다.