[논문 리뷰] On the P=W conjecture for $\mathrm{SL}_n$

Mark Andrea A. de Cataldo, Davesh Maulik외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 곡선의 종수가 2이고 n이 소수일 때 SLₙ에 대해 P=W 추측을 증명함으로써, SLₙ에 대한 P=W 추측이 이 설정에서 GLₙ에 대한 것과 동치임을 보였다. 상위 미러 대칭 정리와 E다항식 계산을 통해, SLₙ-Hitchin 모듈리 공간의 변형 코homology에 대한 희귀 필터링이 해당 Betti 모듈리 공간의 무게 필터링과 일치함을 보였으며, 종수 2와 SLₙ에 대해 P=W를 검증하였다.

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number. We prove that the $P=W$ conjecture for $\mathrm{SL}_p$ is equivalent to the $P=W$ conjecture for $\mathrm{GL}_p$. As a consequence, we verify the $P=W$ conjecture for genus 2 and $\mathrm{SL}_p$. For the proof, we compute the perverse filtration and the weight filtration for the variant cohomology associated with the $\mathrm{SL}_p$-Hitchin moduli space and the $\mathrm{SL}_p$-twisted character variety, relying on Gröchenig-Wyss-Ziegler's recent proof of the topological mirror conjecture by Hausel-Thaddeus. Finally we discuss obstructions of studying the cohomology of the $\mathrm{SL}_n$-Hitchin moduli space via compact hyper-Kähler manifolds.

연구 동기 및 목표

• 기저 곡선의 종수가 2이고 n이 소수일 때 SLₙ에 대한 P=W 추측을 수립한다.
• 동일한 조건 하에서 SLₙ에 대한 P=W 추측이 GLₙ에 대한 것과 동치임을 보인다.
• SLₙ-Hitchin 모듈리 공간의 변형 코homology와 그 Betti 대응체에 대한 희귀 필터링과 무게 필터링을 분석한다.
• SLₙ의 경우에 [4]의 방법을 GLₙ에서 확장하는 데 있어 장애 요소를 규명한다.

제안 방법

• Hausel–Thaddeus의 최신 증명된 상위 미러 대칭 정리(Gröchenig–Wyss–Ziegler에 의해)를 활용하여 SLₙ-Hitchin 모듈리 공간과 특성 다양체의 코homology를 연결한다.
• 그룹 Γ = Pic⁰(C)[n]의 작용 하에서, Pic⁰(C)[n]-불변 및 변형 부분으로 SLₙ-Dolbeault 모듈리 공간의 코homology를 분해한다.
• n이 소수일 때 임의의 종수 g ≥ 2에 대해 변형 코homology Hₚₐᵣₜᵥₐᵣᵢₐₙₜ*(ℳDol, ℚ)에 대해 P=W 추측이 성립함을 증명한다.
• 논문 [13, 19]의 E다항식 계산을 활용하여 코homology의 필터링 간 호환성을 검증한다.
• 콤��� 불가분 히퍼카일러 다양체의 구조를 분석하여, 그들이 코homology의 차수를 유지하는 전사 사상으로서 SLₙ-Hitchin 모듈리 공간의 코homology를 제어할 수 없음을 보인다.
• Looijenge–Lunts–Verbitsky (LLV) 리 대칭 대표 이론을 적용하여, K3, Kummer, OG6 유형의 콤팩트 불가분 히퍼카일러 다양체가 그러한 전사 사상의 후보가 될 수 없음을 제거한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n이 소수일 때 SLₙ에 대한 P=W 추측은 GLₙ에 대한 것과 동치인가?
• RQ2 임의의 종수 g ≥ 2와 소수 n에 대해 SLₙ-Hitchin 모듈리 공간의 변형 코homology에 대해 P=W 추측이 성립하는가?
• RQ3 SLₙ-Hitchin 모듈리 공간의 코homology는 코homology의 차수를 유지하는 전사 사상으로서 콤팩트 히퍼카일러 다양체의 코homology에 의해 제어될 수 있는가?
• RQ4 [4]에서 사용된 GLₙ의 방법을 종수 2에서 SLₙ의 경우로 확장하는 데 있어 장애 요소는 무엇인가?

주요 결과

• 종수가 2이고 n이 소수일 때, Theorem 0.1에 따라 SLₙ에 대한 P=W 추측이 성립한다.
• n이 소수일 때, 코homology의 Γ-불변 및 변형 부분으로의 분해 덕분에 SLₙ에 대한 P=W 추측은 GLₙ에 대한 것과 동치이다.
• 임의의 종수 g ≥ 2와 소수 n에 대해 Theorem 0.2에서 보여시피, 변형 코homology Hₚₐᵣₜᵥₐᵣᵢₐₙₜ*(ℳDol, ℚ)에 대해 P=W 추측이 검증된다.
• SL₂-Hitchin 모듈리 공간의 5차원에서 변형 부분의 차원은 30이며, 이는 콤팩트 히퍼카일러 다양체를 사용하는 데 있어 핵심적인 장애 요소를 제공한다.
• 종수 2에서 K3, Kummer, 또는 OG6 유형의 콤팩트 불가분 히퍼카일러 6차원 다양체는 SL₂-Hitchin 모듈리 공간의 코homology로의 차수를 유지하는 전사 사상이 존재하지 않는다.
• 콤팩트 히퍼카일러 다양체의 코homology에서 SLₙ-Hitchin 모듈리 공간으로의 특수화 사상은, 코homological 제약 조건을 이용한 모순에 의해 전사일 수 없다.