[논문 리뷰] On the Padovan sequence

Alain Faisant|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 19.

Coding theory and cryptography참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 재귀식 $T_{n+3} = T_{n+1} + T_n$ 와 초기값 $T_0=0$, $T_1=T_2=1$로 정의되는 패도반 수열 $(T_n)$을 연구하며, 나눗셈 성질, 소수 모듈로에서의 주기, 그리고 삼차다항식 $X^3 - X - 1$ 를 통한 대수적 구조에 중점을 둔다. 주요 결과는 소수 $p$가 $T_n$의 약수로 처음 나타나는 인덱스 $ olimits_p$가 $ olimits_p \leq t_p \leq p^{r_p} - 1$ 를 만족함을 보여주며, 여기서 $t_p$는 모듈로 $p$에서의 주기이고 $r_p$는 $ olimits_p$에서 $X^3 - X - 1$의 분해체 확장의 차수이다. 논문은 이러한 성질을 환류론과 연결하고, $r_p = 1$ 인 소수를 조건 $p = x^2 + 23y^2$ 를 통해 특성화한다.

ABSTRACT

The aim of this article is to give some properties of the so-called Padovan sequence $(T_n)_{n \ge 0}$ defined by $$ T_{n+3}=T_{n+1}+T_n \forall n \in \mathbb{N}, T_1=T_2=T_3=1$$ that is divisibility properties, periods, identities.

연구 동기 및 목표

• 소수 모듈로에서 패도반 수열의 나눗셈 성질과 주기적 행동을 이해한다.
• 소수 $p$가 $T_n$의 약수로 처음 나타나는 인덱스 $\nolimits_p$ 를 특성화한다.
• 모듈로 $p$에서 $X^3 - X - 1$의 분해체 차수 $r_p$와 수열의 주기 $t_p$ 사이의 관계를 확립한다.
• 환류론을 사용하여 $r_p = 1$ 인 소수 $p$를 특성화하며, $r_p = 1$ 이 되는 것은 $p = x^2 + 23y^2$ 와 동치임을 보인다.
• 원시적 약수, $T_n$의 소수성, 수열 내 완전제곱수의 유한성과 관련된 열린 문제를 탐색한다.

제안 방법

• 패도반 수열은 체 위의 선형 재귀 수열 이론을 사용하여 분석된다.
• 특성다항식 $T(X) = X^3 - X - 1$ 의 근을 이용하여 대칭함수와 바르마인드 행렬식을 통해 $T_n$ 의 닫힌 형태를 표현한다.
• 모듈로 $ olimits_p$ 에서의 산술을 적용하여 수열의 주기 $t_p$ 를 연구하며, $r_p$ 는 분해체 확장 $R_p / olimits_p$ 의 차수를 나타낸다.
• 환류론을 사용하여 $K = olimits_p(\sqrt{-23})$ 의 정수환에서 소수의 분해 행동을 분석하고, $r_p = 1$ 이 되는 것과 $p = x^2 + 23y^2$ 의 표현이 동치임을 연결한다.
• 근들 $ olimits^n, \beta^n, \gamma^n$ 이 3차원 $K$-벡터공간 $\mathcal{T}_K$ 에 속한다는 사실을 이용하여, $T_n, T_{n-1}, T_{n-2}$ 에 대한 삼차 대칭 항등식을 도출한다.
• 아르틴 상호법칙과 쿠머-디데킨트 이론을 사용하여 $ olimits_p$ 에서의 이상 분해와 $T(X) \mod p$ 의 분해를 연결함으로써, $r_p = 1$ 의 특성화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $r_p = 1$ 이면, 식 $T_n = aT_{n-1}T_n + bT_{n-1}^2 + cT_{n-2}^2$ 에서 계수 $a, b, c$ 가 $b = c = 2a$ 를 만족하는가?
• RQ2 만약 $r_p = 2$ 이면, 계수들이 $b = c = (p+1)a$ 를 만족하는가?
• RQ3 만약 $r_p = 3$ 이면, 계수들이 $a = b = c = 1 + p + p^2$ 를 만족하는가?
• RQ4 $T_n$ 에서 $p$ 가 처음 나타나는 인덱스인 $\nolimits_p$ 의 정확한 산술적 성격은 무엇인가?
• RQ5 $T_n$ 이 원시적 소수 약수를 가지지 않는 $n$ 이 유한한가?

주요 결과

• 패도반 수열의 모듈로 $p$ 에서의 주기 $t_p$ 는 $t_p \leq p^{r_p} - 1$ 를 만족하며, 여기서 $r_p$ 는 $ olimits_p$ 에서 $X^3 - X - 1$ 의 분해체의 차수이다.
• 명시적 상한이 확립되었으며, $ olimits_p \leq t_p \leq p^{r_p} - 1$ 이다. 여기서 $ olimits_p$ 는 $p$ 가 $T_n$ 의 약수로 처음 나타나는 인덱스이다.
• 조건 $r_p = 1$ 이 성립하는 것은 $p = x^2 + 23y^2$ 를 만족하는 정수 $x, y$ 가 존재할 때에만 성립하며, 이는 환류론과 아르틴 상호법칙을 통해 증명되었다.
• 수열은 정확히 세 개의 완전제곱수를 포함한다: $T_{10} = 9 = 3^2$, $T_{12} = 16 = 4^2$, $T_{16} = 49 = 7^2$ 이며, 각각의 제곱근은 $T_6, T_7, T_9$ 와 같다.
• 대칭적인 삼차 항등식이 도출되었다: $T_n^3 + T_{n-1}^3 + T_{n-2}^3 - T_n T_{n-1}^2 - T_n^2 T_{n-2} + T_{n-1}^2 T_{n-2} + 2T_{n-1} T_{n-2}^2 - 3T_n T_{n-1} T_{n-2} = 1$.
• 모듈로 20 이하에서 $T_n$ 을 나누는 소수로는 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ 가 있으며, 원시적 약수의 패턴은 복잡하며, 특히 $n = 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 21, 23, 32, 33, 45$ 에서 특별한 예외가 존재한다.