[논문 리뷰] On The Pairwise Weakly Lindelof Bitopological Spaces

Adem Kılıçman, Zabidin Salleh|ArXiv.org|2009. 01. 28.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 위상이 있는 공간으로의 약한 리인델뢰프 공간 개념의 확장으로 쌍대 약한 리인델뢰프 이중위상공간의 개념을 도입하고 조사한다. 이는 쌍대 약한 리인델뢰프 성질이 유전적이지 않음을 보여주며, 순서위상과 이산위상이 부여된 순서공간 Ω를 이용한 반례를 제시하고, 정규 개방 덮개와 닫힘을 이용하여 상대적인 약한 리인델뢰프 부분집합을 특성화한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce and study the notion of pairwise weakly Lindelof bitopological spaces and obtain some results. Further, we also study the pairwise weakly Lindelof subspaces and subsets, investigate some of their properties and show that a pairwise weakly Lindelof property is not a hereditary property.

연구 동기 및 목표

• 쌍대 약한 리인델뢰프 공간의 개념을 이중위상공간으로 확장하기 위해 쌍대 약한 리인델뢰프 공간을 정의함.
• 환경공간에 대한 상대적인 쌍대 약한 리인델뢰프 부분공간 및 부분집합의 성질을 조사함.
• 쌍대 약한 리인델뢰프 성질이 유전적인가를 판단함. 특히 부분공간과 부분집합에 관해 검토함.
• 이중위상공간에서 ij-약한 리인델뢰프, ij-거의 리인델뢰프, ij-거의 정규 성질 간의 관계를 명확히 함.

제안 방법

• ij-약한 리인델뢰프 성질을 통해 쌍대 약한 리인델뢰프 공간을 정의함. 여기서는 모든 ij-정규 개방 덮개에 대해 j-닫힘으로써 공간을 덮는 가산 부분가족이 존재함을 의미함.
• 정규 개방 집합을 특성화하고 약한 리인델뢰프 성질에서 그 역할을 분석하기 위해 ij-반정규화 위상 τ_ij^s 를 사용함.
• 상대적인 약한 리인델뢰프 부분집합 개념을 적용함. 이는 부분집합 A를 ij-정규 개방 집합의 덮개로 덮을 때, 가산 부분가족의 합집합의 j-닫힘이 A를 덮어야 한다는 조건을 요구함.
• 순서위상 τ₁과 이산위상 τ₂가 부여된 순서공간 Ω = [1, ω₁]을 이용한 반례를 구성하여 성질이 유전적이지 않음을 보임.
• ij-반정규 공간에서 i-열린 유전적 ij-약한 리인델뢰프 성질이 모든 τ_ij^s-집합이 ij-약한 리인델뢰프임과 동치임을 증명함.
• 두 위상 τ₁과 τ₂에 대한 닫힘 및 내부 연산자를 사용하여 상대적 및 절대적 약한 리인델뢰프 조건을 분석함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍대 약한 리인델뢰프 성질은 유전적인가? 특히, 쌍대 약한 리인델뢰프 공간의 모든 부분공간이 쌍대 약한 리인델뢰프인가?
• RQ2 어떤 조건에서 부분집합 A ⊆ X 가 X 에 대해 ij-약한 리인델뢰프인가? 이는 절대적 ij-약한 리인델뢰프 성질과 어떻게 다를까?
• RQ3 ij-약한 리인델뢰프 공간과 ij-거의 리인델뢰프 또는 ij-거의 정규 공간 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 부분공간 위상에서 ij-약한 리인델뢰프가 아니지만, X 에 대해 상대적으로 ij-약한 리인델뢰프일 수 있는 부분집합이 존재하는가?
• RQ5 ij-약한 리인델뢰프 성질이 닫힘 또는 정규성 조건(예: ij-정규 닫힘 또는 i-클로즈드)에 의해 유지되는가?

주요 결과

• 쌍대 약한 리인델뢰프 성질은 반례를 통해 Ω = [1, ω₁]에 순서위상과 이산위상을 부여한 경우에 대해 비유전적임을 보였다.
• Ω₀ = Ω ∖ {ω₁} 는 1-열린 집합이지만 12-약한 리인델뢰프가 아니며, 이는 12-약한 리인델뢰프 공간이 약한 리인델뢰프가 아닌 부분공간을 가질 수 있음을 보여준다.
• 쌍대 약한 리인델뢰프 공간의 클로즈드 부분집합은 쌍대 약한 리인델뢰프임이 코로나리에 의해 입증되었다 (정리 15).
• ij-반정규 공간에서, 공간이 i-열린 유전적 ij-약한 리인델뢰프일 조건은 모든 τ_ij^s-집합이 ij-약한 리인델뢰프임과 동치이다.
• 상대적인 ij-약한 리인델뢰프 성질은 임의의 부분집합 A를 ij-정규 개방 집합의 덮개로 덮을 때, 가산 부분가족의 합집합의 j-닫힘이 A를 덮는 조건으로 특성화된다.
• 논문은 ij-약한 리인델뢰프 공간의 i-닫힘 또는 ij-정규 개방 부분집합이 반드시 ij-약한 리인델뢰프가 되는 것은 아니며, 추가 조건으로 ij-정규 닫힘과 j-열린 조건이 필요함을 보였다.