[논문 리뷰] On the Parameterization of Stabilizing Controllers using Closed-loop Responses.

Yang Zheng, Luca Furieri외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 26.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Youla, SLP, IOP와 같은 기존 프레임워크를 바탕으로, 엄밀히 적절한 LTI 시스템에 대한 내부 안정화 제어기의 두 가지 새로운 볼록 매개변수화를 도입한다. 이는 닫힘 루프 응답을 사용하여 이루어지며, 내부 안정성을 특징짓는 네 가지 동치의 안정된 닫힘 루프 전이 행렬 집합을 식별함으로써, 그 중 두 개는 새로 제안된 것이다. 이를 통해 네 가지 볼록 매개변수화를 수립하여, 볼록 최적화를 통한 제어기 설계를 위한 닫힘 루프 볼록성의 이론적 기반을 강화한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the problem of parameterizing all internally stabilizing controllers for strictly proper linear time-invariant (LTI) systems using closed-loop responses. It is known that the set of internally stabilizing controllers $\mathcal{C}_{ ext{stab}}$ is non-convex, but it admits a convex representation using certain closed-loop maps. A classical result is the Youla parameterization, and two recent notions are the system-level parameterization (SLP) and input-output parameterization (IOP). This paper further examines all possible parameterizations of $\mathcal{C}_{ ext{stab}}$ using certain closed-loop responses. Our main idea is to revisit the external transfer matrix characterization of internal stability, which uncovers that only four groups of stable closed-loop transfer matrices are equivalent to internal stability: one of them is used in SLP, another one is a classical result and is used in IOP, and the other two are new, leading to two new parameterizations for $\mathcal{C}_{ ext{stab}}$. All these four parameterizations are convex in term of the respectively introduced parameters, allowing us to use convex optimization for controller synthesis. These results contribute to a more complete picture of the notion of \emph{closed-loop convexity} for parameterizing $\mathcal{C}_{ ext{stab}}$.

연구 동기 및 목표

• 닫힘 루프 응답을 사용한 내부 안정화 제어기의 가능한 모든 매개변수화를 포괄적으로 특징짓는 것.
• LTI 시스템에서 내부 안정성과 동치인 안정된 닫힘 루프 전이 행렬의 모든 집합을 식별하고 체계화하는 것.
• Youla, SLP, IOP와 같은 기존 프레임워크를 확장하여, Youla, SLP, IOP를 초월한 두 가지 새로운 매개변수화를 도입하는 것.
• 모든 제안된 매개변수화가 각각의 매개변수에 대해 볼록임을 보장함으로써, 볼록 최적화 기반 제어기 설계를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 내부 안정성의 외부 전이 행렬 특성화를 재검토하여, 내부 안정성을 암시하는 모든 가능한 안정된 닫힘 루프 전이 행렬 집합을 식별한다.
• 내부 안정성과 동치인 네 가지의 서로 다른 안정된 닫힘 루프 전이 행렬 집합을 식별하며, 그 중 두 개는 새로 도입된 것이다.
• 각 닫힘 루프 맵의 네 그룹에 기반하여, 내부적으로 안정화되는 제어기 집합의 볼록 매개변수화를 유도한다.
• 각 매개변수화가 해당 매개변수에 대해 볼록임을 입증하여, 제어기 설계에 볼록 최적화 기법을 적용할 수 있음을 확립한다.
• 기존의 프레임워크인 Youla, SLP, IOP와 새로운 매개변수화를 비교하여, 안정성 특성화에서는 동치이지만 매개변수화 구조에서의 차이를 보여준다.
• 전이 행렬 간의 관계에 대한 수학적 분석을 통해 각 매개변수화의 동치성과 볼록성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄밀히 적절한 LTI 시스템에서 내부 안정성과 동치인 가능한 모든 안정된 닫힘 루프 전이 행렬 집합은 무엇인가?
• RQ2 이전에 식별되지 않은 닫힘 루프 응답의 그룹에서 새로운 안정화 제어기의 볼록 매개변수화는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 새로 제안된 매개변수화와 SLP, IOP와 같은 기존 프레임워크 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 모든 이러한 매개변수화가 각각의 매개변수에 대해 볼록으로 만들 수 있는가? 이는 제어기 설계에서 볼록 최적화를 지원할 수 있는가?
• RQ5 내부 안정화 제어기의 닫힘 루프 볼록 매개변수화의 완전한 분류는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 엄밀히 적절한 LTI 시스템에서 내부 안정성과 동치인 네 가지의 서로 다른 안정된 닫힘 루프 전이 행렬 집합을 식별한다.
• 이 중 두 개는 새로 도입되었으며, 이에 따라 내부 안정화 제어기 집합에 대한 두 가지 새로운 볼록 매개변수화가 도출된다.
• 모든 네 가지 매개변수화가 각각의 매개변수에 대해 볼록하므로, 제어기 설계에 볼록 최적화를 적용할 수 있다.
• 새로운 매개변수화들은 Youla, SLP, IOP와 같은 기존 방법을 초월하여 닫힘 루프 볼록성의 이론적 프레임워크를 확장한다.
• 결과적으로, 닫힘 루프 응답을 사용한 안정화 제어기의 가능한 모든 볼록 매개변수화의 완전한 분류를 제공한다.
• 다양한 닫힘 루프 응답 집합이 유효한 볼록 매개변수화 변수로 기능할 수 있음을 보여줌으로써, 이 프레임워크는 이전의 접근법을 통합하고 일반화한다.