[논문 리뷰] On the Parameterized Complexity of Approximating Dominating Set

C. S. Karthik, Bundit Laekhanukit외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 31인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 통신 복잡도 기법을 사용하여 k-Dominating Set 문제에 대한 날카운 parameterized inapproximability 경계를 수립한다. 표준 복잡도 가정—W[1] ≠ FPT, ETH, SETH, 및 k-Sum 가정—하에, 특정 시간 범위 내에서 F(k)-FPT-approximation 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하며, parameterized 설정에서의 효율적 근사의 강한 한계를 확립한다.

ABSTRACT

We study the parameterized complexity of approximating the $k$-Dominating Set (DomSet) problem where an integer $k$ and a graph $G$ on $n$ vertices are given as input, and the goal is to find a dominating set of size at most $F(k) \cdot k$ whenever the graph $G$ has a dominating set of size $k$. When such an algorithm runs in time $T(k) \cdot poly(n)$ (i.e., FPT-time) for some computable function $T$, it is said to be an $F(k)$-FPT-approximation algorithm for $k$-DomSet. We prove the following for every computable functions $T, F$ and every constant $\varepsilon > 0$: $\bullet$ Assuming $W[1] eq FPT$, there is no $F(k)$-FPT-approximation algorithm for $k$-DomSet. $\bullet$ Assuming the Exponential Time Hypothesis (ETH), there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{o(k)}$ time. $\bullet$ Assuming the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), for every integer $k \geq 2$, there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{k - \varepsilon}$ time. $\bullet$ Assuming the $k$-Sum Hypothesis, for every integer $k \geq 3$, there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{\lceil k/2 ceil - \varepsilon}$ time. Our results are obtained by establishing a connection between communication complexity and hardness of approximation, generalizing the ideas from a recent breakthrough work of Abboud et al. [FOCS 2017]. Specifically, we show that to prove hardness of approximation of a certain parameterized variant of the label cover problem, it suffices to devise a specific protocol for a communication problem that depends on which hypothesis we rely on. Each of these communication problems turns out to be either a well studied problem or a variant of one; this allows us to easily apply known techniques to solve them.

연구 동기 및 목표

• 매개변수화된 k-Dominating Set 문제에 대한 효율적 근사의 한계를 이해하기 위해.
• W[1] ≠ FPT, ETH, SETH, 및 k-Sum 가정과 같은 표준 복잡도 가정 하에 근사의 난이도를 확립하기 위해.
• dominating set 변종에 대한 통신 복잡도와 매개변수화된 inapproximability를 연결하는 일반적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 이러한 가정 하에 특정 시간 범위 내에서 F(k)-FPT-approximation 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하기 위해.
• 최근의 통신 복잡도 발전을 확장하여 매개변수화된 문제에 대한 날카운 inapproximability 결과를 도출하기 위해.

제안 방법

• k-Dominating Set의 근사 난이도를 관련 문제에 대한 특정 통신 프로토콜의 존재로 감소시킨다.
• 각 기본 가정(W[1]≠FPT, ETH, SETH, k-Sum 가정)에 맞게 조정된 프로토콜을 구성함으로써 기존의 통신 복잡도 기법을 활용한다.
• 감소에서 중심적인 난이도 기반으로 사용하기 위해 매개변수화된 label cover 문제의 변형을 사용한다.
• Abboud 등 (FOCS 2017)의 프레임워크를 적용하여 통신 복잡도 하한을 매개변수화된 복잡도 이론의 근사 난이도에 연결한다.
• 각 가정이 F(k)-FPT-approximation 알고리즘의 존재에 대해 다른 시간 상한을 유도함을 증명한다.
• 통신 복잡도 하한을 F(k)-FPT-approximation 알고리즘에 대한 시간 복잡도 하한으로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 매개변수화된 복잡도 가정 하에 k-Dominating Set 문제에 대해 강력한 inapproximability 결과를 증명할 수 있는가?
• RQ2 F(k)-FPT-approximation 알고리즘이 존재할 수 없는 가장 날카운 시간 상한은 무엇인가?
• RQ3 통신 복잡도는 어떻게 매개변수화된 복잡도에서 근사 난이도 결과를 도출하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 ETH, SETH, 및 k-Sum 가정은 k-DomSet에 대한 F(k)-FPT-approximation 알고리즘의 효율성에 얼마나 영향을 미치는가?
• RQ5 통신 복잡도 하한을 매개변수화된 알고리즘의 inapproximability 결과로 이전하는 일반적인 방법이 존재하는가?

주요 결과

• W[1] ≠ FPT를 가정할 경우, k-Dominating Set에 대한 F(k)-FPT-approximation 알고리즘이 존재하지 않는다.
• 지수적 시간 가정(ETH)을 가정할 경우, k-DomSet에 대한 F(k)-approximation 알고리즘은 T(k) · n^{o(k)} 시간 내에 실행될 수 없다.
• 강력한 지수적 시간 가정(SETH) 하에, 모든 k ≥ 2에 대해, k-DomSet에 대한 F(k)-approximation 알고리즘은 임의의 ε > 0에 대해 T(k) · n^{k - ε} 시간 내에 실행될 수 없다.
• k-Sum 가정 하에, 모든 k ≥ 3에 대해, k-DomSet에 대한 F(k)-approximation 알고리즘은 임의의 ε > 0에 대해 T(k) · n^{⌈k/2⌉ - ε} 시간 내에 실행될 수 없다.
• 프레임워크는 통신 복잡도 하한을 매개변수화된 문제에 대한 날카운 inapproximability 결과로 성공적으로 변환한다.
• 결과적으로, k-DomSet에 대한 알려진 FPT-approximation 알고리즘들이 표준 복잡도 가정 하에 본질적으로 최적임을 입증한다.