[논문 리뷰] On the Parameterized Intractability of Determinant Maximization

Naoto Ohsaka|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 42인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다수의 매개변수화된 제약 조건 하에서 행렬식 최대화 문제의 W[1]-난이도를 입증하며, 희소 화살표형 행렬, 저랭크 입력, 그리고 $2^{-cackslashsqrt{k}}$ 요인 이내의 근사해조차도 여전히 해결이 불가능하다는 것을 보여준다. 또한 행렬 랭크와 대각선 경계에 따라 매개변수화된 ε-덧셈 FPT-근사 알고리즘을 제시하여, 표준 매개변수화된 복잡도 가정 하에서 문제의 본질적인 난이도가 효율적인 해결이나 근사화가 불가능하다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

In the Determinant Maximization problem, given an $n imes n$ positive semi-definite matrix $\bf{A}$ in $\mathbb{Q}^{n imes n}$ and an integer $k$, we are required to find a $k imes k$ principal submatrix of $\bf{A}$ having the maximum determinant. This problem is known to be NP-hard and further proven to be W[1]-hard with respect to $k$ by Koutis. However, there is still room to explore its parameterized complexity in the restricted case, in the hope of overcoming the general-case parameterized intractability. In this study, we rule out the fixed-parameter tractability of Determinant Maximization even if an input matrix is extremely sparse or low rank, or an approximate solution is acceptable. We first prove that Determinant Maximization is NP-hard and W[1]-hard even if an input matrix is an arrowhead matrix; i.e., the underlying graph formed by nonzero entries is a star, implying that the structural sparsity is not helpful. By contrast, Determinant Maximization is known to be solvable in polynomial time on tridiagonal matrices. Thereafter, we demonstrate the W[1]-hardness with respect to the rank $r$ of an input matrix. Our result is stronger than Koutis' result in the sense that any $k imes k$ principal submatrix is singular whenever $k>r$. We finally give evidence that it is W[1]-hard to approximate Determinant Maximization parameterized by $k$ within a factor of $2^{-c\sqrt{k}}$ for some universal constant $c>0$. Our hardness result is conditional on the Parameterized Inapproximability Hypothesis posed by Lokshtanov, Ramanujan, Saurab, and Zehavi, which asserts that a gap version of Binary Constraint Satisfaction Problem is W[1]-hard. To complement this result, we develop an $\varepsilon$-additive approximation algorithm that runs in $\varepsilon^{-r^2}\cdot r^{O(r^3)}\cdot n^{O(1)}$ time for the rank $r$ of an input matrix, provided that the diagonal entries are bounded.

연구 동기 및 목표

• 희소성과 저랭크성 등의 구조적 제약 조건 하에서 행렬식 최대화 문제의 매개변수화된 복잡도를 조사한다.
• 근사해가 允가되는 경우에도 문제의 난이도가 여전히 유지되는지 확인한다.
• 행렬식 최대화 문제에 대해 고정-매개변수 가능(FPT) 근사 알고리즘이 존재하는지 탐색한다.
• 이 NP-난이도 문제에 대해 효율적인 매개변수화된 알고리즘의 한계를 종합적으로 이해한다.
• 삼중대각 또는 화살표형 형태와 같은 구조적 행렬에서의 행렬식 최대화 문제의 가용성에 대한 열린 질문을 해결한다.

제안 방법

• k-합 문제로부터의 축소를 통해 화살표형 행렬에서의 W[1]-난이도를 증명하며, 이는 구조적으로 희소한(별형 구조) 행렬이다.
• 격자 타일링 기반의 축소를 사용하여 매개변수화된 랭크 r에 대해 W[1]-난이도를 입증하며, k > r 인 경우에도 난이도가 유지됨을 보여준다.
• 매개변수화된 근사 불가능성 가설(PIH)을 적용하여, 어떤 universal c > 0 에 대해서도 FPT 알고리즘이 $2^{-c\sqrt{k}}$-근사해를 달성할 수 없음을 증명한다.
• 오차 한계 ∆를 갖는 유리수 근사값을 사용해 입력 벡터의 이산화된 버전을 구성함으로써 정밀도의 유한성을 확보한다.
• 이산화된 공간 내의 서로 다른 벡터 유형을 열거함으로써 ε-덧셈 FPT-근사 알고리즘을 개발하며, 서로 다른 벡터의 수에 대한 경계를 활용한다.
• 행렬 노름과 행렬식 편향 경계(레마 3.8를 통해)를 활용하여 근사 정확도가 ε 이내로 보장됨을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 행렬이 화살표형 행렬(즉, 구조적으로 희소한 행렬)인 경우에도 행렬식 최대화 문제가 W[1]-난이도를 갖는가?
• RQ2 행렬 랭크 r에 대해 매개변수화된 경우, k > r 이더라도 행렬식 최대화 문제가 FPT 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ3 매개변수화된 근사 불가능성 가설 하에서, 행렬식 최대화 문제에 대해 상수 요인 FPT-근사가 존재하는가?
• RQ4 행렬 랭크와 대각선 원소가 유계일 경우, 행렬식 최대화 문제에 대해 ε-덧셈 FPT-근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 행렬식 최대화 문제에 대해 FPT 시간 내에 달성 가능한 가장 날카로운 근사 요인은 무엇인가?

주요 결과

• 입력 행렬이 화살표형 행렬인 경우조차도 행렬식 최대화 문제가 W[1]-난이도를 갖는다. 이는 구조적 희소성이 가용성을 보장하지 못함을 입증한다.
• 모든 k×k 주도부분행렬이 k > r 인 경우에 특이행렬이 되더라도, 매개변수화된 랭크 r에 대해 문제의 난이도는 여전히 W[1]-난이도를 갖는다.
• 매개변수화된 근사 불가능성 가설 하에서, 어떤 universal c > 0 에 대해서도 FPT 알고리즘이 $2^{-c\sqrt{k}}$-근사해를 달성할 수 없다.
• 대각선 원소가 유계일 경우, $\varepsilon^{-r^2} \cdot r^{O(r^3)} \cdot n^{O(1)}$ 시간 내에 실행되는 ε-덧셈 FPT-근사 알고리즘이 존재한다.
• 근사 보장은 행렬식 편향 경계를 통해 입증되며, $|\det(AS) - \det(BS)| \leq 3 \cdot d^{2d+1} \cdot \Delta$ 이며, 여기서 $\Delta = \varepsilon / (6 \cdot d^{2d+1})$ 이다.
• 이산화된 입력 내의 서로 다른 벡터의 수는 $\left(\frac{2}{\Delta} + 1\right)^d$ 이하로 유계이며, 이는 FPT 시간 내에 효율적인 열거를 가능하게 한다.