[논문 리뷰] On the partition function of the Riemann zeta function, and the Fyodorov--Hiary--Keating conjecture

Adam J. Harper|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 13.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 15인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수의 임계선에서 최댓값에 대해 Fyodorov–Hiary–Keating 추측에서 예측한 주요 항과 두 번째 항을 정확히 일치하는 최초의 엄밀한 상계를 확립한다. 제타 함수를 스무스 수와 러프 수 위의 딜리클레 다항식의 곱으로 근사하고, 랜덤 매트릭스 이론의 확률적 방법을 적용함으로써, 대부분의 $ t \in [T, 2T] $ 에서 국소 최댓값이 $ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4+o(1))\log\log\log T $ 를 만족함을 증명한다. 이는 추측된 극값 행동을 확인한다.

ABSTRACT

We investigate the ``partition function'' integrals $\int_{-1/2}^{1/2} |ζ(1/2 + it + ih)|^2 dh$ for the critical exponent 2, and the local maxima $\max_{|h| \leq 1/2} |ζ(1/2 + it + ih)|$, as $T \leq t \leq 2T$ varies. In particular, we prove that for $(1+o(1))T$ values of $T \leq t \leq 2T$ we have $\max_{|h| \leq 1/2} \log|ζ(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4 + o(1))\log\log\log T$, matching for the first time with both the leading and second order terms predicted by a conjecture of Fyodorov, Hiary and Keating. The proofs work by approximating the zeta function in mean square by the product of a Dirichlet polynomial over smooth numbers and one over rough numbers. They then apply ideas and results from corresponding random model problems to compute averages of this product, under size restrictions on the smooth part that hold for most $T \leq t \leq 2T$ (but reduce the size of the averages). There are connections with the study of critical multiplicative chaos. Unlike in some previous work, our arguments never shift away from the critical line by more than a tiny amount $1/\log T$, and they don't require explicit calculations of Fourier transforms of Dirichlet polynomials.

연구 동기 및 목표

• 임계선에서 리만 제타 함수의 국소 최댓값에 대한 엄밀한 상계를 정확히 추측된 渐近 행동과 일치하도록 확립하는 것.
• 짧은 간격에서 $ |\zeta(1/2+it+ih)| $ 의 최댓값에 대한 Fyodorov–Hiary–Keating 추측의 두 번째 항을 해결하는 것.
• 임계선에서 큰 이탈을 피하고, 딜리클레 다항식의 명시적 푸리에 변환 계산을 피하는 방법을 개발하는 것.
• 분포적 성질을 유추하기 위해 분할 함수 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ 와 그 모멘트를 분석하는 것.
• 스무스 및 러프 부분으로 분해된 수론적 제타 함수 행동을 임계 곱셈 혼돈과 랜덤 매트릭스 모델과 연결하는 것.

제안 방법

• P가 T에 따라 달라지는 바탕으로, $ \zeta(1/2+it+ih) $ 를 P-스무스 수 위의 딜리클레 다항식과 P-러프 수 위의 딜리클레 다항식의 곱으로 근사한다.
• 주파수 간격을 인덱스 l로 나누는 스무스 이중 분할을 사용하고, $ |I_{l,t}(\tilde{h}(l))| $ 의 크기 조건을 통해 국소 인자의 곱을 제어한다.
• 집합 $ \tilde{\mathcal{G}}_t(h) $ 의 지표 함수를 대체하기 위해 스무스 주도 함수를 도입하여 기대값 프레임워크에서 모멘트 추정을 사용할 수 있도록 한다.
• 특히 모멘트의 모멘트 및 곱셈 혼돈을 다루는 랜덤 매트릭스 이론의 확률적 기법을 적용하여 딜리클레 다항식의 곱을 상계한다.
• 오차 항을 제어하기 위해 $ \delta = 1/(\log\log P)^2 $ 를 사용하여, 오차 기여가 주항보다 무시할 만큼 작다는 것을 보장한다.
• 스무스 부분의 절단된 지수 급수에 의한 근사가 타당함을 보장하기 위해 $ \epsilon > 20\log P \log\log P / \log T $ 라는 조건을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 typical한 $ t \in [T, 2T] $ 에서 $ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| $ 의 정확한 渐近 행동은 무엇이며, Fyodorov–Hiary–Keating 추측과 일치하는가?
• RQ2 제타 함수 최댓값에서 두 번째 항 $ -(3/4+o(1))\log\log\log T $ 가 엄밀하게 확립될 수 있는가?
• RQ3 분할 함수 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ 의 모멘트는 $ t \in [T, 2T] $ 에서 평균적으로 어떻게 행동하는가? 이는 짧은 간격에서 제타 함수의 일반적인 크기에 대해 무엇을 시사하는가?
• RQ4 제타 함수가 스무스 및 러프 부분으로 효과적으로 분해되어, 그 곱이 제타 함수의 최댓값 근처에서 올바른 통계적 행동을 반영할 수 있는가?
• RQ5 랜덤 매트릭스 모델 히우리스틱이 리만 제타 함수의 국소 최댓값 맥락에서 어느 정도 엄밀하게 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 대략 $ (1+o(1))T $ 개의 $ t \in [T, 2T] $ 에서 국소 최댓값이 $ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4+o(1))\log\log\log T $ 를 만족하며, 이는 Fyodorov–Hiary–Keating 추측의 주요 항과 두 번째 항 모두 정확히 일치한다.
• 분할 함수 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ 는 일반적으로 $ \ll \frac{1}{\sqrt{\log\log T}} \log T $ 이며, 이는 고전적 두 번째 모멘트 추정보다 작다. 이는 평균이 일반적인 값의 대표성을 갖지 못함을 시사한다.
• 정리 1의 상계는 $ \left( \frac{\log T}{1 + (1-q)\sqrt{\log\log T}} \right)^q $ 의 형태를 가지며, 이는 최적이며 제타 함수의 통계역학적 유사성에서의凍結 전이를 반영한다.
• 근사 오차는 $ \delta = 1/(\log\log P)^2 $ 를 선택하여 제어되며, 이로 인해 스무스 근사 오차의 기여는 $ \ll \frac{\log T}{(\log\log P)^2} $ 로 작아지고 무시할 수 있다.
• 이 방법은 임계선에서 큰 이탈을 피하고 $ O(1/\log T) $ 이내에 머물며, 딜리클레 다항식의 명시적 푸리에 변환 계산이 필요 없다.
• 증명은 제타 함수를 스무스 및 러프 부분으로 분해하는 데 의존하며, 스무스 부분은 절단된 지수 급수로 근사되고, 러프 부분은 모멘트 추정을 통해 다뤄진다.