[논문 리뷰] On the passage from atomistic systems to nonlinear elasticity theory

Julian Braun, Bernd Schmidt|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 21.

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한 줄 요약

이 논문은 일반적인 유한 범위 상호작용, 즉 결합-각도 및 다중 전하 효과를 포함하여 원자 구조계에서 비선형 탄성 기능을 $Γ$-수렴을 통해 엄밀하게 유도한다. 연속체 에너지 밀도는 세포 문제의 해로서 설정되며, 한계 에너지가 소작은 변형에서만 코시-Born 규칙과 일치하고, 일반적으로 코시 관계를 초월하여 일반화됨을 보여준다.

ABSTRACT

We derive continuum limits of atomistic models in the realm of nonlinear elasticity theory rigorously as the interatomic distances tend to zero. In particular we obtain an integral functional acting on the deformation gradient in the continuum theory which depends on the underlying atomistic interaction potentials and the lattice geometry. The interaction potentials to which our theory applies are general finite range models on multilattices which in particular can also account for multi-pole interactions and bond-angle dependent contributions. Furthermore, we discuss the applicability of the Cauchy-Born rule. Our class of limiting energy densities consists of general quasiconvex functions and the class of linearized limiting energies consistent with the Cauchy-Born rule consists of general quadratic forms not restricted by the Cauchy relations.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 유한 범위 상호작용, 다입자 및 결합-각도 의존성 퍼텐셜을 포함한 원자 구조계에서 연속체 비선형 탄성 기능을 엄밀하게 유도하는 것.
• 한계 에너지 밀도를 세포 문제 설정의 해로 설정하여 격자 세포에서의 전체 이산 기울기 정보를 포착하는 것.
• 비선형 영역에서 코시-Born 규칙의 타당성과 제한을 분석하여, 소작은 변형에서만 성립함을 보여주는 것.
• 한계 에너지 밀도가 코시 관계에 제한되지 않고, 심지어 복잡한 상호작용에서도 쿼어컨벡스임을 보여주는 것.
• 이전의 이원자 상호작용 결과를 스틸링거-우버거 타입의 퍼텐셜을 포함한 더 풍부한 상호작용 모델로 확장하는 것.

제안 방법

• 소작은 격자 간격의 극한($\varepsilon \to 0$)에서 이산 원자 에너지에서 연속체 극한으로 가는 데 $Γ$-수렴을 사용하는 것.
• 이산 변형 기울기 $\bar{\nabla}y(x)$를 격자 세포에서 포함하는 세포 문제를 통해 유도된 적분 기능으로 한계 에너지를 기술하는 것.
• Alicandro와 Cicalese(2004)의 적분 표현 프레임워크의 가정을 검증하기 위해 국소화 방법과 추상적 컴acts성 성질을 활용하는 것.
• 각 세포에서 전체 $d \times 2^d$ 이산 기울기를 포함하는 정교하게 선택된 이산 변형의 보간을 구성하여, 이차 상호작용 모델에서 사용된 자르기 기법을 대체하는 것.
• 측정 가능한 다중함수 이론을 적용하여 세포 에너지를 최소화하는 측정 가능한 필드 $s(x)$의 존재를 보장함으로써 연속체 에너지의 표현을 가능하게 하는 것.
• 상호작용 퍼텐셜의 성장 및 연속성 조건을 사용하여 세포 문제에서 하한 연속성과 최소화자 존재성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 비선형 탄성 기능은 원자 모델에서 유한 범위, 다입자 상호작용, 특히 결합-각도 의존성을 포함하여 도출될 수 있는가?
• RQ2 비선형 영역에서 코시-Born 규칙이 성립하는 조건은 무엇이며, 언제 실패하는가?
• RQ3 일반적인 원자 상호작용에 대해 한계 연속체 에너지 밀도의 구조는 무엇이며, 쿼어컨벡스성과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 이중 상호작용이 아닌 비이원자 상호작용에 대해 $Γ$-수렴과 세포 문제를 사용하여 이산에서 연속체로의 극한을 어떻게 엄밀하게 확립할 수 있는가?
• RQ5 한계 에너지 밀도는 코시 관계가 위반되는 물질, 예를 들어 스틸링거-우버거 타입의 복잡한 퍼텐셜에서 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 한계 연속체 에너지 밀도는 격자 세포에서의 이산 기울기를 포함하는 세포 문제 설정으로부터 도출된 기울기의 쿼어컨벡스 함수이다.
• 이 이론은 다중 격자에서의 일반적인 유한 범위 상호작용, 다중 전하 및 결합-각도 의존 기여를 포함하여 스틸링거-우버거 퍼텐셜과 같은 경우에도 적용 가능하다.
• 코시-Born 규칙은 소작은 변형 극한에서만 회복되며, 비선형 영역에서는 한계 에너지가 일반적으로 코시-Born 에너지와 일치하지 않는다.
• 코시-Born 규칙에 일치하는 선형화된 한계 에너지의 클래스는 코시 관계에 제한되지 않은 일반적인 이차 형식이며, 물리적으로 현실적인 비대칭 반응을 허용한다.
• 한계 에너지 기능은 세포 에너지 밀도의 적분으로 표현되며, 보조 필드 $s$에 대한 최소화자로 인해 정확한 연속체 극한이 보장된다.
• 측정 가능한 다중함수 이론을 통해 측정 가능한 최소화자 필드 $s(x)$의 존재가 보장되어 $L^q$에서 연속체 에너지의 표현이 가능하다.