[논문 리뷰] On the pedant tree-connectivity of graphs

Yaping Mao|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 28.

Interconnection Networks and Systems참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정점 집합 S를 연결하는 스티너 트리가 S에 속한 모든 정점을 잎으로 가져야 하는 일반화된 그래프 연결성의 특수한 형태인 pedant 트리-연결성(pedant tree-connectivity)을 도입하고 분석한다. k-pedant 트리-연결성에 대해 날카로운 경계를 확립하고, 극값(0, n−k, n−k−1, n−k−2)을 도달하는 그래프를 특성화하며, 그래프와 그 여집합에서의 pedant 트리-연결성의 합과 곱에 대해 Nordhaus-Guddum 유형의 부등식을 유도하여 날카로운 경계와 구조적 특성화를 증명한다.

ABSTRACT

The concept of pedant tree-connectivity was introduced by Hager in 1985. For a graph $G=(V,E)$ and a set $S\subseteq V(G)$ of at least two vertices, \emph{an $S$-Steiner tree} or \emph{a Steiner tree connecting $S$} (or simply, \emph{an $S$-tree}) is a such subgraph $T=(V',E')$ of $G$ that is a tree with $S\subseteq V'$. For an $S$-Steiner tree, if the degree of each vertex in $S$ is equal to one, then this tree is called a \emph{pedant $S$-Steiner tree}. Two pedant $S$-Steiner trees $T$ and $T'$ are said to be \emph{internally disjoint} if $E(T)\cap E(T')=\varnothing$ and $V(T)\cap V(T')=S$. For $S\subseteq V(G)$ and $|S|\geq 2$, the \emph{local pedant-tree connectivity} $τ_G(S)$ is the maximum number of internally disjoint pedant $S$-Steiner trees in $G$. For an integer $k$ with $2\leq k\leq n$, \emph{$k$-pedant tree-connectivity} is defined as $τ_k(G)=\min\{τ_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$. In this paper, we first study the sharp bounds of pedant tree-connectivity. Next, we obtain the exact value of a threshold graph, and give an upper bound of the pedant-tree $k$-connectivity of a complete multipartite graph. For a connected graph $G$, we show that $0\leq τ_k(G)\leq n-k$, and graphs with $τ_k(G)=n-k,n-k-1,n-k-2,0$ are characterized in this paper. In the end, we obtain the Nordhaus-Guddum type results for pedant tree-connectivity.

연구 동기 및 목표

• 그래프에서 pedant 트리-연결성의 날카로운 경계를 연구하기.
• 임계 그래프(threshold graphs)에 대한 k-pedant 트리-연결성의 정확한 값을 결정하기.
• 완전 다중분할 그래프에서 k-pedant 트리-연결성에 대한 상한을 확립하기.
• k-pedant 트리-연결성의 극값을 도달하는 그래프를 특성화하기: τk(G) = 0, n−k, n−k−1, n−k−2.
• 그래프와 그 여집합에서의 pedant 트리-연결성의 합과 곱에 대해 Nordhaus-Guddum 유형의 결과를 도출하기.

제안 방법

• S의 모든 정점이 차수 1을 가지는 S-트리인 pedant S-스티너 트리(pedant S-Steiner trees)를 정의한다.
• 모든 k-부분집합 S에 대해 τG(S)를 내부적으로 분리된 pedant S-스티너 트리의 최대 개수로 정의한다.
• 모든 k-부분집합 S에 대해 τG(S)의 최소값을 k-pedant 트리-연결성 τk(G)로 정의한다.
• 극값 그래프 이론과 구조적 분석을 사용하여 τk(G)에 대한 경계를 유도하며, 이는 τk(G) ≤ n−k 및 τk(G) ≥ 0를 포함한다.
• 여집합 그래프의 구조를 적용하여 τk(G) + τk(G̅) 및 τk(G) · τk(G̅)에 대한 Nordhaus-Guddum 유형의 부등식을 유도한다.
• 도달 가능한 경계에서 등호가 성립하는 그래프를 차수 조건과 연결성 성질을 사용하여 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 n인 그래프에서 k-pedant 트리-연결성의 날카로운 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ2 임계 그래프(threshold graphs)에 대한 k-pedant 트리-연결성의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ3 완전 다중분할 그래프에서 k-pedant 트리-연결성의 상한은 무엇인가?
• RQ4 어떤 그래프가 τk(G) = 0, n−k, n−k−1, 또는 n−k−2를 만족하는가?
• RQ5 τk(G)와 τk(G̅)의 합과 곱에 대한 Nordhaus-Guddum 유형의 경계는 무엇이며, 언제 날카로운가?

주요 결과

• 임의의 순서 n인 연결 그래프 G에 대해 0 ≤ τk(G) ≤ n−k 이며, 모든 경계는 날카롭다.
• τk(G) = n−k를 만족하는 그래프가 존재하며, 이는 차수 n−1인 정점과, 그 정점의 모든 이웃가 S에 포함된 k-부분집합 S를 가진 그래프로 특성화된다.
• τk(G) = n−k−1를 만족하는 그래프가 존재하며, 이는 특정한 차수 분포와 연결성 구조로 특성화된다.
• τk(G) = n−k−2를 만족하는 그래프는 차수와 연결성 제약 조건의 조합으로 특성화된다.
• 모든 순서 n인 연결 그래프 G에 대해 3 ≤ k ≤ n일 때, Nordhaus-Guddum 유형의 부등식 τk(G) + τk(G̅) ≤ n−k 가 성립하며, 이 경계는 날카롭다.
• 곱 경계 τk(G) · τk(G̅) ≤ ⌊(n−k)/2⌋² 도 날카롭고, 특정한 극값 케이스에서 등호가 성립한다.