[논문 리뷰] On the Performance of Delta Hedging Strategies in Exponential Lévy Models

Stephan Denkl, Martina Goy외 3명|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 지수 Lévy 모형에서 평균 제곱 헤지 오차를 라플라스 변환 방법을 사용하여 반명시적 공식으로 개발하며, 비최적의 델타 헤지 전략(예: 블랙-숄즈 및 모델 델타)을 평균-분산 최적 헤지와 직접 비교할 수 있도록 한다. 주요 기여는 모형 오특사용 시 성능 격차를 정량화할 수 있는 다루기 쉬운 방법을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We consider the performance of non-optimal hedging strategies in exponential Lévy models. Given that both the payoff of the contingent claim and the hedging strategy admit suitable integral representations, we use the Laplace transform approach of Hubalek et al. (2006) to derive semi-explicit formulas for the resulting mean squared hedging error in terms of the cumulant generating function of the underlying Lévy process. In two numerical examples, we apply these results to compare the efficiency of the Black-Scholes hedge and the model delta to the mean-variance optimal hedge in a normal inverse Gaussian and a diffusion-extended CGMY Lévy model.

연구 동기 및 목표

• 지수 Lévy 과정에 의해 지배되는 불완전 시장에서 비최적 델타 헤지 전략의 성능을 정량화하는 것.
• 이전의 평균 제곱 헤지 오차 결과를 마르팅게일 가정을 초월하여 일반 Lévy 과정과 더 넓은 범위의 델타 전략에 대해 확장하는 것.
• 실용적 헤지 전략(예: 블랙-숄즈, 모델 델타)의 효율성을 이론적 최적 평균-분산 헤지와 비교할 수 있는 계산적으로 실현 가능한 방법을 제공하는 것.
• 모멘트 생성 함수와 지급금 및 전략의 적분 표현을 사용하여 헤지 오차의 수치적 평가를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• Hubalek 등 [11]의 라플라스 변환 방법을 사용하여 평균 제곱 헤지 오차에 대한 반명시적 표현을 유도한다.
• 헤지 오차를 기본 Lévy 과정의 누산 생성 함수와 지급금 및 전략의 적분 표현으로 표현한다.
• 복소평면 위에서의 경로적분을 포함한 복소해석 기법을 적용하여 헤지 오차의 제곱변동 및 교차변동 성분을 평가한다.
• 반정마르팅게일의 이론과 예측 가능 보정자를 사용하여 반정마르팅게일의 스트로스틱 적분을 엄밀히 정의하고 오차 성분을 계산한다.
• 지급금 및 전략의 적분 표현을 Lévy 과정의 성질과 특성 함수의 성질과 결합하여 주요 결과(정리 4.2)를 도출한다.
• 실제 시장 데이터에서 캘리브레이션된 파rameter를 사용한 두 가지 수치 예제를 통해 방법의 타당성을 검증한다(NIG 및 CGMY 모형).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 역가우시안(Lévy) 모형에서 블랙-숄즈 델타 헤지의 평균 제곱 헤지 오차는 평균-분산 최적 헤지와 어떻게 비교되는가?
• RQ2 실제 캘리브레이션 조건 하에서, 확산 확장형 CGMY 모형에서 모델 델타와 최적 헤지 간의 성능 격차는 무엇인가?
• RQ3 라플라스 변환 방법을 통해 마르팅게일 가정을 초월한 일반 지수 Lévy 모형에서 헤지 오차에 대한 반명시적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 모형 오특사용과 비최적 헤지 전략은 불완전 시장에서 종료 시점의 헤지 오차 분포에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 누산 생성 함수와 복소적분 표현을 사용하여 지수 Lévy 모형에서 Δ-전략의 평균 제곱 헤지 오차에 대한 반명시적 공식을 도출한다.
• 정규 역가우시안(NIG) 모형에서는 장기 만기일수록 블랙-숄즈 헤지가 평균-분산 최적 헤지보다 훨씬 높은 헤지 오차를 보인다.
• 확산 확장형 CGMY 모형에서는 모델 델타 헤지가 블랙-숄즈 헤지보다 우월하지만 여전히 분산 최적 전략에 비해 측정 가능한 오차를 겪는다.
• 평균-분산 최적 헤지는 두 모형 모두에서 일관되게 가장 낮은 평균 제곱 오차를 달성하여 그 이론적 우수성을 확인한다.
• 유도된 공식은 계산적으로 다루기 쉬우며 몬테카를로 시뮬레이션 없이도 헤지 전략 간의 효율성을 효율적으로 수치 비교할 수 있도록 한다.
• 이 방법은 모형 오특사용에 대해 강건하며, 점프와 스토하스틱 볼라티리티를 포함한 광범위한 Lévy 과정 클래스에 적용 가능하다.