[논문 리뷰] On the periodic solutions of discontinuous piecewise differential systems

Jaume Llibre, Douglas D. Novaes|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 12.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비연속 조각별 미분계수 시스템에 대한 새로운 평균화 이론을 개발하며, 비영인 비편미분 성분 $F_0$를 가진 경우, 고전적 평균화 방법을 주기적 해를 다룰 수 있도록 확장한다. 주요 기여는 리아푸노프–슐라이프트 감소와 평균화를 통한 주기적 해 탐지에 대한 엄밀한 프레임워크를 제공하는 것으로, 극좌표계에서 불연속성이 $\theta = 0, \pi, 2\pi$ 에서 발생하는 편미분 시스템에 대한 구체적 응용을 통해 검증된다. 이 방법은 명시적 매개변수 조건 하에 유일한 소규모 진폭의 한계 사이클을 성공적으로 식별한다.

ABSTRACT

Motivated by problems coming from different areas of the applied science we study the periodic solutions of the following differential system $$x'(t)=F_0(t,x)+\varepsilon F_1(t,x)+\varepsilon^2 R(t,x,\varepsilon),$$ when $F_0$, $F_1$, and $R$ are discontinuous piecewise functions, and $\varepsilon$ is a small parameter. It is assumed that the manifold $\mathbb{Z}$ of all periodic solutions of the unperturbed system $x'=F_0(t,x)$ has dimension $n$ or smaller then $n$. The averaging theory is one of the best tools to attack this problem. This theory is completely developed when $F_0$, $F_1$ and $R$ are continuous functions, and also when $F_0=0$ for a class of discontinuous differential systems. Nevertheless does not exist the averaging theory for studying the periodic solutions of discontinuous differential system when $F_0 eq0$. In this paper we develop this theory for a big class of discontinuous differential systems.

연구 동기 및 목표

• 비편미분 시스템($\varepsilon = 0$)이 비자명한 주기적 해의 다중집합 $\mathcal{Z}$ 를 가지는 비연속 조각별 미분계수 시스템에 대해 평균화 이론을 확장한다. 즉, $F_0 \neq 0$ 인 경우를 다룬다.
• 비편미분 시스템이 비퇴화적일 때 비연속 시스템에서 주기적 해를 연구하기 위한 분석 도구의 부족을 해결한다.
• 조각별 $C^m$ 벡터장이 불연속성 다중집합 $\Sigma$ 에 의해 분리되는 시스템에 대해 평균화와 리아푸노프–슐라이프트 감소를 기반으로 한 엄밀한 이론적 프레임워크를 수립한다.
• 특히 $\dim \mathcal{Z} < n$ 인 경우를 중심으로, 이러한 시스템에서 주기적 해 존재를 위한 충분조건을 제시한다.

제안 방법

• 불연속성 다중집합 $\Sigma$ 에 의해 분리되는 $\mathbb{S}^1 \times D$ 위에서 $N$-불연속 조각별 미분계수 시스템(DPDS)의 클래스를 수식화한다. 여기서 벡터장 $F^n$ 은 서로소이고 닫힌 영역 $\overline{S_n}$ 에서 연속이며, 불연속성은 조각별 $C^m$ 다중집합 $\Sigma$ 에서 발생한다.
• 비편미분 시스템 $x' = F_0(t,x) + \varepsilon F_1(t,x) + \varepsilon^2 R(t,x,\varepsilon)$ 에 평균화 방법을 적용한다. 여기서 $F_0$ 는 불연속이고 $F_1$, $R$ 는 연속이다.
• 리아푸노프–슐라이프트 감소를 사용하여 주기적 해를 찾는 문제를 선형 연산자의 핵에 속하는 해의 체계를 푸는 문제로 감소시켜, 비편미분 다중집합 $\mathcal{Z}$ 에서의 분기 분석을 가능하게 한다.
• 평균화 접근법의 타당성을 보장하기 위해 네 가지 핵심 가정($H$, $H1$, $H2$, $H3$, $H4$)을 정의하고 검증한다. 이는 유동이 $\Sigma$ 와 교차하는 성질, 단조성의 비퇴화성, 전이 지도의 미분 가능성 등을 포함한다.
• 특정 각도에서의 불연속성을 분석하기 쉽게 하기 위해 시간 변수 $\theta$ (예: 극좌표계에서의 각도 시간) 로 시스템을 변환한다.
• 기호 계산(예: Mathematica/Maple)을 사용하여 일阶 평균화 함수 $f_1(\alpha)$ 를 계산하고, 그가 0과의 교차에서의 교차성(Transversality)을 검증함으로써, 비퇴화된 영점이 주기적 해에 대응함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비편미분 시스템($\varepsilon = 0$)이 비자명한 주기적 해의 다중집합 $\mathcal{Z}$ 를 가지는 경우, 고전적 평균화 이론을 비연속 조각별 미분계수 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 특히 불연속성 다중집합 $\Sigma$ 가 주기적 해와 교차할 경우, 이러한 시스템에서 주기적 해 존재를 위한 필수 및 충분조건은 무엇인가?
• RQ3 리아푸노프–슐라이프트 감소 기법은 어떻게 비연속 벡터장에 적응시켜, $\mathcal{Z}$ 근처에서 유일한 해 분지가 존재함을 보장할 수 있는가?
• RQ4 벡터장이 불연속성 다중집합 $\Sigma$ 와 교차하는 성질이 작은 외란 하에서도 주기적 해의 유지에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 응용 사례에서 보여지듯이, 어떤 명시적 매개변수 조건 하에 시스템이 유일한 소규모 진폭의 한계 사이클을 갖는가?

주요 결과

• 논문은 $F_0 \neq 0$ 인 비연속 조각별 시스템에 대해 새로운 평균화 이론을 성공적으로 개발하여, 이전에는 이러한 도구가 없었던 문헌의 중요한 간극을 메운다.
• 일阶 평균화 함수 $f_1(\alpha)$ 의 영점에서 도함수 $f_1'(a) \neq 0$ 가 성립할 경우, 주기적 해 존재를 위한 충분조건이 확립되며, 이는 비퇴화된 분기의 존재를 보장한다.
• 극좌표계에서의 구체적 응용에 있어서, $\left(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^- ight)\left(a_2^- - a_2^+ ight) > 0$ 인 조건 하에 유일한 주기적 해가 존재하며, 이는 $f_1(a) = 0$ 을 만족하는 유일한 $\alpha = a = \frac{4(a_2^- - a_2^+)}{\pi(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^-)}$ 가 존재함을 보장한다.
• 일阶 평균화 함수 $f_1(\alpha)$ 는 명시적으로 $f_1(\alpha) = \frac{\pi}{2}\left(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^- ight)\alpha + 2(a_2^+ - a_2^-)$ 로 계산되며, 선형 형태이기에 $f_1(\alpha) \neq 0$ 이다. 이는 $a$ 를 중심으로 한 이웃 영역 $W$ 의 경계에서 성립하며, 존재 조건을 위한 디그리 조건을 만족한다.
• 극좌표계 예시에 대해 가정 $H$, $H1$, $H2$, $H3$, $H4$ 가 모두 완전히 검증되었으며, 이는 이론적 프레임워크의 적용 가능성을 확인한다.
• 이 방법은 비편미분 시스템에서 유일한 소규모 진폭의 한계 사이클 존재를 확인하였으며, 이 해는 제시된 매개변수 제약 조건 하에 $\mathcal{Z} = \{ (\alpha, 0) \mid r_1 \leq \alpha \leq r_2 \}$ 에서 유래한다.