[논문 리뷰] On the Perturbation Function of Ranking and Balance for Weighted Online Bipartite Matching

Jingxun Liang, Zhihao Gavin Tang외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 19.

Optimization and Search Problems인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 가중치가 부여된 온라인 이분 매칭에서 페르투르베이션 함수의 역할을 조사하며, 정점 가중치가 부여된 매칭에서 표준 함수 $ f(x) = 1 - e^{x-1} $가 유일하게 최적의 선택임을 증명하여 $ 1 - 1/e $의 경쟁비를 달성한다. 또한 이 함수를 사용한 Perturbed-Ranking이 예산이 알려지지 않은 광고 플랫폼(AdWords)에서 최대 $ 0.624 $의 경쟁비를 보이며, Vazirani(2021)의 추측을 반박한다. 더 나아가 모든 페르투르베이션 함수에 대해 $ 1 - 1/e - 0.0003 $의 보편적인 상한선을 설정하여 $ 1 - 1/e $의 경쟁비를 달성할 수 있음을 규명한다.

ABSTRACT

Ranking and Balance are arguably the two most important algorithms in the online matching literature. They achieve the same optimal competitive ratio of 1-1/e for the integral version and fractional version of online bipartite matching by Karp, Vazirani, and Vazirani (STOC 1990) respectively. The two algorithms have been generalized to weighted online bipartite matching problems, including vertex-weighted online bipartite matching and AdWords, by utilizing a perturbation function. The canonical choice of the perturbation function is f(x) = 1-e^{x-1} as it leads to the optimal competitive ratio of 1-1/e in both settings. We advance the understanding of the weighted generalizations of Ranking and Balance in this paper, with a focus on studying the effect of different perturbation functions. First, we prove that the canonical perturbation function is the unique optimal perturbation function for vertex-weighted online bipartite matching. In stark contrast, all perturbation functions achieve the optimal competitive ratio of 1-1/e in the unweighted setting. Second, we prove that the generalization of Ranking to AdWords with unknown budgets using the canonical perturbation function is at most 0.624 competitive, refuting a conjecture of Vazirani (2021). More generally, as an application of the first result, we prove that no perturbation function leads to the prominent competitive ratio of 1-1/e by establishing an upper bound of 1-1/e-0.0003. Finally, we propose the online budget-additive welfare maximization problem that is intermediate between AdWords and AdWords with unknown budgets, and we design an optimal 1-1/e competitive algorithm by generalizing Balance.

연구 동기 및 목표

• 페르투르베이션 함수가 Ranking과 Balance를 가중치가 부여된 온라인 이분 매칭으로 일반화하는 데서 수행하는 역할을 이해하기 위해.
• 표준 페르투르베이션 함수 $ f(x) = 1 - e^{x-1} $가 정점 가중치가 부여된 매칭에서 유일하게 최적임을 판단하기 위해.
• 예산이 알려지지 않은 AdWords에서 Perturbed-Ranking의 경쟁비를 조사하여 오랫동안 유지된 추측에 도전하기 위해.
• 모든 페르투르베이션 함수가 가중치가 부여된 온라인 매칭에서 달성할 수 있는 경쟁비에 대한 보편적인 상한선을 설정하기 위해.

제안 방법

• 원래 그래프를 단계별로 처리되는 오프라인 정점이 있는 가상 그래프로 변환하기 위한 새로운 정점 분해 기법을 도입한다.
• 각 오프라인 정점이 온라인 정점의 도착 시간에 따라 여러 단계로 분할된 새로운 인스턴스 $ G' $를 구성한다.
• 더 이른 단계의 오프라인 정점만 온라인 정점와 매칭될 수 있도록 새로운 예산 $ B'_{u_i} $와 경계 이득 $ w'_{u_j v_i} $를 정의한다.
• 분해된 그래프 $ G' $에서 Perturbed-Balance(MSVV)를 시뮬레이션하여, 원래 알고리즘 $ G $에서와 동일한 결과를 도출함을 보인다.
• 오프라인 최적의 분수 해가 $ G $와 $ G' $ 간에 유지됨을 증명한다. 즉, $ \text{OPT}(G) = \text{OPT}(G') $.
• 원시-이중 프레임워크와 MSVV에 대한 기존 결과를 활용하여 $ G $에서 알고리즘의 경쟁비를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 페르투르베이션 함수 $ f(x) = 1 - e^{x-1} $는 정점 가중치가 부여된 온라인 이분 매칭에서 $ 1 - 1/e $의 경쟁비를 유일하게 달성하는가?
• RQ2 예산이 알려지지 않은 AdWords에서 Perturbed-Ranking이 달성할 수 있는 최고의 경쟁비는 얼마인가?
• RQ3 어떤 페르투르베이션 함수도 예산이 알려지지 않은 AdWords 문제에서 $ 1 - 1/e $의 경쟁비를 달성할 수 있는가?
• RQ4 가중치가 부여된 그래프의 구조는 Ranking과 Balance와 같은 근사 알고리즘의 성능에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 페르투르베이션 함수 $ f(x) = 1 - e^{x-1} $는 정점 가중치가 부여된 온라인 이분 매칭에서 유일하게 최적의 함수이며, $ 1 - 1/e $의 경쟁비를 달성한다.
• 비가중치 설정에서는 어떤 페르투르베이션 함수도 $ 1 - 1/e $의 경쟁비를 달성하므로, 가중치 설정과의 핵심적 차이를 드러낸다.
• 표준 함수를 사용한 Perturbed-Ranking은 예산이 알려지지 않은 AdWords에서 최대 $ 0.624 $의 경쟁비를 보이며, Vazirani(2021)의 추측을 반박한다.
• 예산이 알려지지 않은 AdWords 문제에서 어떤 페르투르베이션 함수도 $ 1 - 1/e $의 경쟁비를 달성할 수 없으며, $ 1 - 1/e - 0.0003 $의 증명된 상한선이 존재한다.
• 제안된 온라인 예산-가산 복리 최적화 문제는 일반화된 Balance 알고리즘을 통해 최적의 $ 1 - 1/e $ 경쟁비 알고리즘을 제공한다.
• 정점 분해 기법은 오프라인 최적 해를 유지하며, 온라인 환경에서 동적 예산 업데이트의 분석을 가능하게 한다.