[논문 리뷰] On the pole structures of the disconnected part of hyper elliptic g loop M point super string amplitudes

Akihiro Tsuchiya|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 27.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 초등형 형식을 사용하여, 초등형의 경우인 고리 수 g, M점 초초월 끈 진폭의 이산 부분의 극 구조를 조사한다. 고전적 아벨 함수 이론과 스핀 구조 의존성의 모듈러 불변 및 위에르슈트라스 ℘-함수 의존성 부분으로의 추측된 분해를 활용함으로써, 저자는 스핀 구조를 합산하는 체계적인 방법을 도출하였으며, 기존의 고리 수 2, 4점 진폭 결과를 성공적으로 재현하고, g(g+1)/2의 성질에 따라 고리 수 1의 결과를 더 높은 고리 수와 M점 진폭으로 일반화하였다.

ABSTRACT

Structures of the disconnected part of higher genus superstring amplitudes restricted to the hyper elliptic cases are investigated in the NSR formalism, based on the DHoker Phong and recent results. A set of equations, which we can regard as a basic tool to sum over the spin structures of any of g loop, M point amplitudes systematically, is shown by using a classical result of Abelian functions. We discuss structures of g loop, M point massless external boson superstring amplitudes by assuming that the spin structure dependence of any of the disconnected amplitudes is only on one kind of constants, the genus g Weierstrass Pe function valued at the summation of g number of half periods chosen out of 2g+1 half periods. This is a natural generalization of the case of genus 1. This assumption will be validated by a conjectured theorem which states that the spin structure dependent part of any string amplitude will be naturally decomposed into two parts. One is composed of manifestly modular invariant functions of positions of inserting operators, and the other is the polynomial of Pe function constants related to the moduli of Riemann surfaces only. It is shown that this is actually the case for any M for g=1, and M=1,2,3 for any g. Due to a technical problem, our consideration is at present restricted to the case that g(g+1)divided by 2 is odd. Example calculations are shown for the genus 2 by the method described here. In particular, our method correctly reproduces biholomorphic 1 form of DHoker Phong result as for the four point amplitudes of the disconnected parts.

연구 동기 및 목표

• 초등형의 경우에 대한 고리 수가 높은 초초월 끈 진폭의 이산 부분의 구조를 이해하기 위해.
• g-루프, M점 진폭에서 스핀 구조를 합산하는 체계적인 방법을 개발하기 위해.
• 고리 수 1의 결과—스핀 구조 의존성이 반주기에서의 위에르슈트라스 ℘-함수에 의해 지배됨—을 더 높은 고리 수로 일반화하기 위해.
• 끈 진폭이 모듈러 불변 부분과 모듈리 의존 부분으로 분해되는 것을 추측하는 것을 검증하기 위해.
• 이 방법을 고리 수 2에 적용하여, DHoker-Phong 프레임워크에서 알려진 결과, 예를 들어 다항형 1형식을 재현하기 위해.

제안 방법

• g-루프 진폭에서 스핀 구조 합산을 지배하는 일련의 방정식을 도출하기 위해 아벨 함수 이론의 고전적 결과를 활용한다.
• 스핀 구조 의존성이 유일하게 2g+1개의 반주기 중에서 선택된 g개의 반주기 합에 대해 평가된 고리 수 g의 위에르슈트라스 ℘-함수에 암묵적으로 포함된다고 가정한다.
• 진폭 의존성이 두 부분으로 분해된다는 추측된 정리를 적용한다: 하나는 연산자 위치에서 명백하게 모듈러 불변이며, 다른 하나는 리만 곡면 모듈리와 연결된 ℘-함수 상수에 대한 다항식이다.
• 일관성 검증을 위해 고리 수 2에서 4점 진폭에 초점을 맞춰 방법을 구현한다.
• 스핀 구조 합산을 다룰 때 기술적 제약으로 인해 g(g+1)/2가 홀수여야 한다는 조건에 의존한다.
• DHoker와 Phong가 고리 수 2의 4점 진폭에서 유도한 다항형 1형식 결과를 재현함으로써 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고리 수 g, M점 초초월 끈 진폭에서 스핀 구조 의존성을 초등형의 경우에 대해 체계적으로 합산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 고리 수 1의 결과—스핀 구조 의존성이 반주기에서의 위에르슈트라스 ℘-함수에 의해 지배됨—이 더 높은 고리 수로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 진폭이 ℘-함수 상수를 통해 모듈러 불변 부분과 리만 곡면 모듈리에만 의존하는 부분으로 분해될 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법이 고리 수 2의 4점 진폭에서 알려진 결과, 예를 들어 다항형 1형식을 정확히 재현하는가?
• RQ5 스핀 구조 합산의 맥락에서 g(g+1)/2가 홀수여야 한다는 조건으로 인해 발생하는 제약 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 이 방법은 고리 수 2의 4점 진폭에서 DHoker와 Phong의 다항형 1형식 결과를 이산 부분에서 성공적으로 재현하였다.
• 고리 수 1의 경우에서 스핀 구조 의존성이 반주기에서의 위에르슈트라스 ℘-함수에 의해 지배됨이 확인되었으며, 제시된 가정 하에 더 높은 고리 수로 일반화되었다.
• 모듈러 불변 부분과 모듈리 의존 부분으로의 진폭의 추측된 분해는 고리 수 1과 임의의 고리 수에서 M=1,2,3에 대해 검증되었다.
• 스핀 구조 합산은 고전적 아벨 함수 이론에서 유도된 일련의 방정식으로 체계적으로 묘사된다.
• g(g+1)/2가 홀수여야 한다는 기술적 제약은 현재 방법의 적용 범위를 제한하지만, 고리 수 2와 같은 핵심 케이스에서는 성립한다.
• 이 접근법은 고리 수가 높고 M점인 경우에 대한 이산 진폭의 극 구조를 계산하는 데 일관된 프레임워크를 제공한다.