[논문 리뷰] On the poset of King-Non-Attacking permutations

Eli Bagno, Estrella Eisenberg외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 07.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 순열의 포함 순서 하에 왕-비공격 순열(인접한 값이 1보다 더 큰 차이를 가진 순열)의 부분순서집합(poset)을 조사한다. [2413]과 [3142]가 기본적인 구성 요소로 작용하며, 이 두 패턴을 모두 포함하지 않는 순열의 멜리우스 함수가 0이 됨을 증명하고, 부분순서집합 내의 왕자(prince)와 체인의 구조를 특성화하여, 이 두 패턴의 팽창(inflation)을 통해 왕자 없이 갖는 순열의 완전한 기술을 제공한다.

ABSTRACT

A king-non-attacking permutation is a permutation $π\in S_n$ such that $|π(i)-π(i-1)| eq 1$ for each $i \in \{2,\dots,n\}$. We investigate the structure of the poset of these permutations under the containment relation, and also provide some results on its Möbius function.

연구 동기 및 목표

• 왕-비공격 순열이 순열 포함 관계에 의해 형성하는 부분순서집합의 구조를 분석한다.
• [2413]과 [3142]의 팽창을 통해 왕자(즉, 부분순서집합 내에서 즉각적인 이전 원소가 없는) 순열을 특성화한다.
• 부분순서집합의 멜리우스 함수가 0이 되는 조건을 규명한다.
• 스텝 크기가 1 또는 3인 체인이 존재함을 보여, 부분순서집합의 조밀도를 확립한다.
• 순열의 폭(breadth)과 k-풍부성(k-prolific nature) 간의 관계를 탐구하며, 특히 k=1의 경우에 초점을 맞춘다.

제안 방법

• 순열의 플롯에서 원소 간 맨하탄 거리를 사용해 폭을 정의하고, 왕 순열은 정확히 폭이 3 이상인 순열임을 보여준다.
• 순열 포함 관계와 왕자 개념을 적용하여 부분순서집합의 구조를 분석한다.
• 왕 순열의 부분순서집합에서 멜리우스 함수를 포함-배제 원리에 따라 간격(interval)을 통해 계산한다.
• 귀납법과 간격 분해를 사용하여, [2413] 또는 [3142]를 피하는 순열에서 멜리우스 함수가 0이 됨을 증명한다.
• K₅ 내에서 비영인 멜리우스 함수를 갖는 유일한 순열은 [2413]과 [3142]를 모두 포함하는 다섯 원소의 왕 순열로 이루어진 집합 H를 도입한다.
• 순열 패턴, 단순 순열, 팽창의 결과를 활용하여 부분순서집합의 계층적 구조를 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왕-비공격 순열의 부분순서집합에서 왕자가 없는 순열은 무엇이며, 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 왕 순열의 부분순서집합에서 멜리우스 함수가 0이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 모든 왕 순열 쌍 π ≺ σ는 길이의 차이가 1 또는 3인 체인으로 연결될 수 있는가?
• RQ4 [2413]과 [3142]는 부분순서집합의 구조에서 어떤 기본 구성 요소 역할을 하는가?
• RQ5 순열의 폭은 그 k-풍부성과 어떻게 관련되어 있으며, 특히 k=1일 경우 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 왕 순열 중에서 [2413]과 [3142]를 모두 포함하지 않는 순열의 멜리우스 함수는 0이 된다.
• 길이가 5인 왕 순열 중 멜리우스 함수가 비영인 유일한 순열은 집합 H = {[24153], [35142], [42513], [31524]}에 속한 네 개의 순열이며, 각각 μ = 1을 갖는다.
• 순열이 왕자가 없음과 동시에 [2413]과 [3142]의 팽창에 의해 생성된 순열임은 필요충분조건이다.
• 모든 왕 순열 쌍 π ≺ σ에 대해, |πⁱ| − |πⁱ⁻¹| ∈ {1, 3}을 만족하는 체인 π = π⁰ ≺ π¹ ≺ ⋯ ≺ πᵏ = σ 가 존재한다.
• 모든 다른 왕자가 [2413] 또는 [3142]를 피하는 한, 왕자 하나만을 갖는 왕 순열 σ에 대해 멜리우스 함수는 0이 된다.
• 부분순서집합은 조밀하다고 할 수 있으며, π ≺ σ 인 모든 간격 [π, σ]는 길이의 차이가 1 또는 3인 체인이 포함되어 있다.