[논문 리뷰] On the possibility of simple parallel computing of Voronoi diagrams and Delaunay graphs

Daniel Reem|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 04.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 51인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 프로그래밍과 광학에서 영감을 얻은 개념을 활용하여 각 베로노이 영역을 독립적으로 다룸으로써 자연스럽게 병렬적으로 베로노이 도형과 돌룬레이 삼각형을 계산하는 새로운 조합 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 효율적인 병렬 계산을 가능하게 하며, 볼록 다면체와 그 이중 돌룬레이 그래프를 위한 새로운 조합 표현 방식을 도입한다.

ABSTRACT

Abstract. The Voronoi diagram is a widely used data structure. The theory of algorithms for computing Euclidean Voronoi diagrams of point sites is rich and useful, with several different and important algorithms. However, this theory has been quite steady during the last few decades in the sense that new algorithms have not entered the game. In addition, most of the known algorithms are sequential in nature and hence cast inherent difficulties on the possibility to compute the diagram in parallel. This paper presents a new and simple algorithm which enables the (combinatorial) computation of the diagram. The algorithm is significantly different from previous ones and some of the involved concepts in it are in the spirit of linear programming and optics. Parallel implementation is naturally supported since each Voronoi cell can be computed independently of the other cells. A new combinatorial structure for representing the cells (and any convex polytope) is described along the way and the computation of the induced Delaunay graph is obtained almost automatically.

연구 동기 및 목표

• 기존 알고리즘에서 주로 순차적 처리에 의존해 온 베로노이 도형 계산의 병렬화 문제를 해결하기 위해.
• 독립적인 계산을 가능하게 하는 새로운 조합적 프레임워크를 개발하여, 베로노이 세포와 볼록 다면체를 표현하기 위해.
• 베로노이 도형과 돌룬레이 그래프 구축을 자연스럽고 효율적으로 병렬화할 수 있도록 하기 위해.
• computed된 베로노이 구조에서 돌룬레이 그래프가 거의 자동으로 유도될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 선형 프로그래밍과 광학에서 영감을 얻은 조합적이고 기하학적 원리를 활용하여 각 베로노이 세포를 독립적으로 계산한다.
• 볼록 다면체를 표현하기 위한 새로운 조합적 구조를 도입하여, 베로노이 세포의 인코딩을 용이하게 한다.
• 이 방법은 이중 표현 방식을 사용하여, 계산된 베로노이 구조에서 돌룬레이 그래프가 자연스럽게 유도된다.
• 기존의 분할 정복 또는 평면 스위프와 같은 순차적 단계를 피하고, 대신 독립적인 세포 처리에 의존한다.
• 각 사이트의 베로노이 세포가 고립된 상태에서 계산될 수 있도록 알고리즘을 설계하여 진정한 병렬성을 실현한다.
• 기초 수학적 프레임워크는 광학적 파면 전파와 선형 프로그래밍의 이중성에서 유사성을 빌려온다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순차적 사전 처리에 의존하지 않고, 본질적으로 병렬적인 방식으로 베로노이 도형을 계산할 수 있는가?
• RQ2 독립적 계산과 효율적인 병렬 처리를 가능하게 하는, 베로노이 세포의 조합적 표현 방식이 존재하는가?
• RQ3 계산된 베로노이 구조에서 돌룬레이 그래프를 직접적이고 자동으로 도출할 수 있는가?
• RQ4 선형 프로그래밍과 광학의 개념이 새로운 베로노이 알고리즘의 타당한 기초가 될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 각 세포를 독립적으로 처리함으로써 조합적 방식으로 베로노이 도형을 계산할 수 있으며, 자연스러운 병렬성을 지원한다.
• 볼록 다면체를 위한 새로운 조합적 구조가 도입되어, 베로노이 세포의 표현과 계산을 단순화한다.
• 이중성 표현 덕분에, 돌룬레이 그래프는 베로노이 세포 계산의 부산물로 거의 자동으로 도출된다.
• 기존의 알고리즘과는 크게 다름으로써, 순차적 또는 점진적인 구축 단계를 피하고 있다.
• 알고리즘의 개념적 기초는 선형 프로그래밍과 광학에서 영감을 얻어, 베로노이 도형 계산에 대해 새로운 시각을 제공한다.