[논문 리뷰] On the possibility of unifying the electromagnetic and the gravitational fields

Gunnar Nordström|arXiv (Cornell University)|2007. 02. 25.

Relativity and Gravitational Theory인용 수 6

한 줄 요약

1914년 논문에서 군나르 노르트스트룀은 네 차원 시공간을 다섯 번째 차원의 다양체 안의 초표면(브레인 또는 '와이트플레체')으로 매장시켜 전자기력과 중력을 다섯 차원적으로 통합한다. 5차원 장 강도 텐서와 게이지 포텐셜을 사용한 일반화된 전자기 유사 형식을 통해, 다섯 번째 차원의 게이지 불변성 조건 하에서 맥스웰 방정식과 스칼라 중력장으로 분리되는 장 방정식을 유도하며, 이후 칼루자-클라인 이론의 기초가 되는 아이디어를 제공한다.

ABSTRACT

This is the first paper by Gunnar Nordstr{\\"o}m (1881--1923) on his five dimensional theory. In his summary he states: ''It is shown, that a unifying treatment of the electromagnetic and gravitational fields is possible, if one considers the four dimensional spacetime world to be a surface in a five dimensional world.'' This paper was followed by two other papers written by the Gunnar Nordstr{\\"o}m during the one year period 1914--1915, on the same subject, which are also made available here.

연구 동기 및 목표

• 전기력과 중력장을 단일 기하학적 프레임워크 내에서 통합하기 위해.
• 민코프스키의 네 차원 시공간 형식을 전자기력과 중력을 모두 수용할 수 있도록 다섯 번째 차원으로 확장하기 위해.
• 결합된 전자기력과 중력 상태가 다섯 번째 차원에서 단일 반대칭 장 텐서로 기술될 수 있음을 보여주기 위해.
• 전기력과 중력 성분으로의 분리가 다섯 번째 차원의 게이지 조건으로 자연스럽게 유도됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 시간 차원 w = ict인 복소수 시간 차원을 포함한 다섯 차원 시공간 (x, y, z, t, w)을 도입한다.
• 전자기장 성분(F_xy, F_xu 등)과 중력장 성분(F_xw, F_wu 등)에 해당하는 성분을 가진 5차원 장 강도 텐서 F_ij를 정의한다.
• 장 방정식을 dF = 0 및 d*F = J로 기술하며, 순환 치환 하에 ∂_j F^{ij} = J^i 및 ∂_j F^{ij} = 0로 동치된다.
• 방정식을 전자기력과 스칼라 중력 부문으로 분리하기 위해 다섯 번째 차원에 대한 의존성이 없는 조건 ∂^5 A^k = 0을 도입한다.
• 에너지-운동량 텐서와 보존 법칙을 도출하기 위해 5차원 라그랑지안 밀도 L = -1/4 F_ij F^{ij} + A_i J^i 를 사용한다.
• 노이터의 정리 적용으로 시공간 이동에 대한 보존 전류를 유도하며, 다섯 번째 차원의 이동에 대응하는 5-운동량을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전기력과 중력은 고차원 시공간에서 단일 장 텐서로 기술될 수 있는가?
• RQ2 다섯 번째 차원 형식이 어떻게 자연스럽게 전자기력과 중력 성분으로 분리되는가?
• RQ3 이 통합 체계에서 다섯 번째 차원의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ4 에너지-운동량 보존 법칙은 다섯 번째 차원에서도 유지되는가? 그리고 다섯 번째 성분은 무엇을 의미하는가?
• RQ5 통합 장 방정식은 다섯 번째 차원에서 변분 원리로부터 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 다섯 번째 차원이 ∂^5 A^k = 0 조건에 의해 압축될 경우, 다섯 차원의 장 방정식 dF = 0 및 d*F = J 는 표준 맥스웰 방정식과 스칼라 중력장으로 복원된다.
• 에너지-운동량 텐서 T^{ij} = F^i_k F^{kj} + (1/4)δ^{ij} F_{kl} F^{kl} 는 첫 네 차원에서 보존되며, 이는 운동량과 에너지 보존에 해당한다.
• 에너지-운동량 보존 법칙의 다섯 번째 성분 ∂_j T^{5j} = 0 는 보존되는 5-운동량을 나타내지만, 그 물리적 해석은 아직 명확하지 않다.
• 장 방정식은 5차원 라그랑지안에서 유도되며, 노이터의 정리로 인해 시공간 이동에 대한 보존 전류 존재가 확인된다.
• 전류 밀도 J^i 는 dJ = 0 으로 보존되어 장 방정식의 소스 항의 일관성을 확보한다.
• 가정 ∂^5 A^k = 0 은 5차원 포텐셜을 전자기력 부분(A^1–A^4)과 중력 스칼라 포텐셜(A^5)으로 분리하게 하며, J^5 는 물질 밀도를 나타낸다.