[논문 리뷰] On the Power of Advice and Randomization for Online Bipartite Matching

Christoph Dürr, Christian Konrad외 1명|Bristol Research (University of Bristol)|2016. 02. 23.

Optimization and Search Problems인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 온라인 이분 매칭에서 조언과 난수의 힘을 조사하며, (1−ε)-경쟁적인 결정론적 알고리즘을 달성하기 위해 Ω(log(1/ε)n)의 조언 비트가 필수적이고 O(1/ε⁵n)가 충분함을 보여준다. 조언은 난수보다 뚜렷이 슈퍼어리어하며, O(log n)의 조언 비트로 3/5-경쟁적인 알고리즘을 달성할 수 있지만, 난수는 단지 10비트로도 1−1/e에 가까운 near-optimal 성능을 달성한다.

ABSTRACT

While randomized online algorithms have access to a sequence of uniform random bits, deterministic online algorithms with advice have access to a sequence of advice bits, i.e., bits that are set by an all powerful oracle prior to the processing of the request sequence. Advice bits are at least as helpful as random bits, but how helpful are they? In this work, we investigate the power of advice bits and random bits for online maximum bipartite matching (MBM). The well-known Karp-Vazirani-Vazirani algorithm is an optimal randomized $(1-\frac{1}{e})$-competitive algorithm for extsc{MBM} that requires access to $Θ(n \log n)$ uniform random bits. We show that $Ω(\log(\frac{1}ε) n)$ advice bits are necessary and $O(\frac{1}{ε^5} n)$ sufficient in order to obtain a $(1-ε)$-competitive deterministic advice algorithm. Furthermore, for a large natural class of deterministic advice algorithms, we prove that $Ω(\log \log \log n)$ advice bits are required in order to improve on the $\frac{1}{2}$-competitiveness of the best deterministic online algorithm, while it is known that $O(\log n)$ bits are sufficient. Last, we give a randomized online algorithm that uses $c n$ random bits, for integers $c \ge 1$, and a competitive ratio that approaches $1-\frac{1}{e}$ very quickly as $c$ is increasing. For example if $c = 10$, then the difference between $1-\frac{1}{e}$ and the achieved competitive ratio is less than $0.0002$.

연구 동기 및 목표

• 온라인 이분 매칭에서 조언 비트와 난수 비트의 상대적 능력을 이해하기 위해.
• (1−ε)-경쟁성을 달성하기 위해 필요한 최소 조언 비트 수를 규명하기 위해.
• 결정론적 온라인 알고리즘에서 조언을 통해 달성 가능한 경쟁 비율 향상 정도를 분석하기 위해.
• 조언 기반 알고리즘과 KVV와 같은 난수 알고리즘의 성능를 비교하기 위해.
• 1/2와 1−1/e를 초월하는 향상된 경쟁 비율을 달성하기 위한 조언 복잡도의 날카로운 경계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 입력 도착 이전에 올바른 조언 문자열을 제공하는 오라클이 존재하는 조언 모델을 사용하며, 이는 결정론적 알고리즘이 표준 온라인 알고리즘을 능가하도록 한다.
• 미매칭인 B-정점은 그린지 매칭에서 카테고리 1로 분류되고, 매칭된 정점은 카테고리 2로 분류되는 카테고리 기반 조언 알고리즘을 제안하며, 이는 m개의 조언 비트를 사용한다.
• 조언 카테고리에 기반한 재순서화된 순열을 사용해 랭킹 알고리즘을 적용함으로써 매칭 품질을 향상시킨다.
• 미매칭 정점의 업그레이드를 증명하기 위해 레마 4(미매칭 정점 업그레이드)를 적용하며, 이는 이미 매칭된 정점에 해를 끼치지 않고도 매칭 결과를 향상시킨다.
• 정점 분할 A₁, A₂ 및 B₁, B₂에 걸쳐 매칭 구성요소(M₂₁, M₁₂, M₂₂)를 분석하여 경쟁 비율을 근사한다.
• 확률론적 및 조합론적 경계를 사용하여 |M*|, |M_G|, 및 |B₁*|에 따라 경쟁 비율의 하한 및 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 온라인 이분 매칭에서 (1−ε)-경쟁적인 결정론적 알고리즘을 달성하기 위해 필요한 최소 조언 비트 수는 얼마인가?
• RQ2 조언 비트는 온라인 이분 매칭에서 난수보다 엄밀히 더 높은 경쟁 비율을 제공할 수 있는가?
• RQ3 1/2-경쟁성 이상을 초월하기 위해 Ω(log log log n)의 조언 비트가 필요한 자연스러운 결정론적 조언 알고리즘의 클래스가 존재하는가?
• RQ4 난수 알고리즘이 최적의 1−1/e 경쟁 비율에 도달하기 위해 필요한 난수 비트 수는 얼마인가?
• RQ5 결정론적 온라인 알고리즘에서 1/2를 초월하는 경쟁 비율을 달성하기 위해 필요한 조언 복잡도는 얼마인가?

주요 결과

• 온라인 이분 매칭에서 (1−ε)-경쟁적인 결정론적 알고리즘을 달성하기 위해 Ω(log(1/ε)n)의 조언 비트가 필수적이며, O(1/ε⁵n)가 충분하다.
• m개의 조언 비트를 사용하는 카테고리 기반 조언 알고리즘은 3/5-경쟁 비율을 달성하며, 이는 결정론적 그린지 알고리즘의 1/2-경쟁성보다 향상된 것이다.
• 자연스러운 결정론적 조언 알고리즘의 클래스에 대해, 1/2-경쟁성을 초월하기 위해서는 Ω(log log log n)의 조언 비트가 필요하며, 이는 비트리스 비트의 하한을 확립한다.
• 단지 cn개의 난수 비트를 사용하는 난수 알고리즘((예: c=10)은 1−1/e에 대해 0.0002 이내의 경쟁 비율을 달성하며, 빠르게 최적에 수렴한다.
• Karp-Vazirani-Vazirani(KVV) 알고리즘은 1−1/e 경쟁 비율을 달성하는 난수 알고리즘 중 최적이며, Θ(n log n)의 난수 비트가 필요하다.
• 조언은 난수보다 엄밀히 더 강력하다: O(log n)의 조언 비트로 3/5-경쟁성이 달성 가능한 데 반해, 난수는 1−1/e에 도달하기 위해 Θ(n log n) 비트가 필요하다.