[논문 리뷰] On the Power of Entangled Quantum Provers

Julia Kempe, Thomas Vidick|ArXiv.org|2006. 12. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 두 프로버가 얽힌 상태에 있는 양자 상호작용 증명 체계의 성공 확률이 다항 크기의 준정적 프로그래밍(정의된 프로그래밍)에 의해 계산될 수 없다는 것을 보여준다. 이는 P = NP가 아닐 경우에만 성립한다. 논문은 1라운드의 양자 상호작용 증명 체계를 구성하여, 정확도가 1에 매우 가까운 완전성과 타당성을 확보한 상태에서 갭-3D-매칭 문제를 해결한다. 이 체계는 로그 크기의 워크스페이스와 메시지 크기만을 사용한다. 이는 얽힌 양자 프로버의 능력에 비현실적인 하한을 설정한다.

ABSTRACT

We show that the value of a general two-prover quantum game cannot be computed by a semi-definite program ofvpolynomial size (unless P=NP), a method that has been successful in more restricted quantum games. More precisely, we show that proof of membership in the NP-complete problem GAP-3D-Matching can be obtained by a 2-prover, 1-round quantum interactive proof system where the provers share entanglement, with perfect completeness and soundness s=1-2^(-O(n)), and such that the space of the verifier and the size of the messages are O(log n). This implies that QMIP^*_{log n,1,1-2^(-O(n))} subseteq P unless P = NP and provides the first non-trivial lower bound on the power of entangled quantum provers, albeit with an exponentially small gap. The gap achievable by our proof system might in fact be larger, provided a certain conjecture on almost commuting versus nearly commuting projector matrices is true.

연구 동기 및 목표

• 얽힌 양자 프로버가 상호작용 증명 체계에서 가지는 계산 능력을 조사한다.
• 이러한 체계의 성공 확률이 준정적 프로그래밍(SDP)에 의해 기술될 수 있는지 여부를 규명한다.
• QMIP*(양자 다중프로버 상호작용 증명 체계에서 얽힘을 고려한)의 표현 능력에 대한 비현실적인 하한을 설정한다.
• SDP 기반 방법이 양자 다중프로버 증명 체계를 기술하는 데서 가지는 한계를 탐색한다.
• 양자 복잡도 이론에서 거의 교환 가능하지만 완전히 교환 가능하지 않은 프로젝터 행렬의 역할을 검토한다.

제안 방법

• 얽힌 프로버를 사용하여 NP-완전 문제인 갭-3D-매칭 문제를 위한 1라운드 양자 상호작용 증명 체계를 구성한다.
• O(log n) 워크스페이스와 O(log n) 메시지 크기를 갖는 검증자로, 완전성은 정확히 1이며 타당성은 1 - 2^(-O(n))이다.
• m개의 위치에 대해 무게 √m인 텐서 곱 프로젝터를 사용하며, 임의의 두 프로젝터가 최대 한 위치에서만 겹친다.
• 프로젝터의 교환자 노름을 분석하여 근사 대각화의 오차를 제한하고, 이를 거의 교환 가능한 행렬의 구조와 연결한다.
• 티르셀슨의 임bedding 기법과 벡터에서 관측량으로의 매핑을 적용하여, 양자 측정 성공률을 SDP 타당성과 연결한다.
• 거의 교환 가능한 프로젝터에 대한 추측을 활용하여, 기하급수적 감쇠를 초월해 타당성 갭을 크게 향상시킬 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 얽힌 양자 다중프로버 증명 체계의 성공 확률은 다항 크기의 준정적 프로그래밍(SDP)으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 양자 상호작용 증명에서 비현실적인 완전성과 타당성을 달성하기 위해 필요한 최소한의 얽힘과 통신량은 얼마인가?
• RQ3 교환 가능하지만 완전히 교환 가능하지 않은 프로젝터가 존재하는 것은, 양자 증명 체계에 대한 SDP 근사화에서 근본적인 제약를 암시하는가?
• RQ4 얽힌 프로버를 가진 양자 상호작용 증명 체계는 NP 또는 심지어 NEXP를 포괄할 수 있으며, 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ5 프로버가 얽힘을 공유할 때, 고전적 통신과 양자 통신을 사용하는 양자 증명 체계 사이에 구조적 차이가 존재하는가?

주요 결과

• 일반적인 두 프로버 양자 게임의 성공 확률은 다항 크기의 준정적 프로그래밍(SDP)으로 계산될 수 없으며, 이는 P = NP가 아닐 경우에만 성립한다.
• 얽힌 프로버를 사용하는 1라운드 양자 상호작용 증명 체계는 갭-3D-매칭 문제에서 정확한 완전성과 타당성 1 - 2^(-O(n))을 달성한다. 이는 O(log n) 워크스페이스와 메시지 크기만을 사용한다.
• 이는 QMIP*_{log n,1,1-2^{-O(n)}}가 P에 포함되지 않음을 의미하며, 이는 P = NP가 아닐 경우에만 성립한다. 이는 얽힌 양자 프로버의 능력에 대한 비현실적인 하한을 설정한다.
• 이 구성은 교차와 교환자 노름이 제어된 텐서 곱 프로젝터 집합에 의존하며, 이는 거의 교환 가능한 행렬의 구조와 연결된다.
• 만약 거의 교환 가능한 프로젝터에 대한 추측 2가 다항식 또는 상수 δ로 성립한다면, 타당성 갭은 기하급수적 감쇠를 초월해 크게 향상될 수 있다.
• 결과는 갭-3DM의 상수 차수 NEXP-완전판을 가정할 경우, 스케일업하여 NEXP ⊆ QMIP*_{1,s}(2,1)로 확장할 수 있으며, 이때 타당성 s는 n에 대해 이중 기하급수적으로 감쇠한다.