[논문 리뷰] On the Power of Random Bases in Fourier Sampling: Hidden Subgroup Problem in the Heisenberg Group

Jaikumar Radhakrishnan, Martin Roetteler외 1명|arXiv (Cornell University)|2005. 03. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 13인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 유한 헤이젠베르크 군에서 은닉 부분군 문제(HSP)를 효율적으로 해결할 수 있음을 보여준다. 랜덤 또는thonormal 기저에서 양자 푸리에 변환 후 측정하는 무작위 강력한 푸리에 샘플링(random strong Fourier sampling)을 사용하며, $ r(G) = \Omega(1) $일 경우 $ O((\log|G|/r(G))^{2}) $회의 반복으로 충분하다. 헤이젠베르크 군에 대해 $ r({\cal H}_p) = \Omega(1) $임을 보여주며, 명시적인 기저가 알려져 있지 않은 상황에서도 다항식 시간의 양자 알고리즘을 제공한다. 이는 기저가 명시적으로 알려져 있지 않은 상황에서의 첫 번째 사례이다.

ABSTRACT

The hidden subgroup problem (HSP) provides a unified framework to study problems of group-theoretical nature in quantum computing such as order finding and the discrete logarithm problem. While it is known that Fourier sampling provides an efficient solution in the abelian case, not much is known for general non-abelian groups. Recently, some authors raised the question as to whether post-processing the Fourier spectrum by measuring in a random orthonormal basis helps for solving the HSP. Several negative results on the shortcomings of this random strong method are known. In this paper however, we show that the random strong method can be quite powerful under certain conditions on the group G. We define a parameter r(G) for a group G and show that O((\log |G| / r(G))^2) iterations of the random strong method give enough classical information to identify a hidden subgroup in G. We illustrate the power of the random strong method via a concrete example of the HSP over finite Heisenberg groups. We show that r(G) = Ω(1) for these groups; hence the HSP can be solved using polynomially many random strong Fourier samplings followed by a possibly exponential classical post-processing without further queries. The quantum part of our algorithm consists of a polynomial computation followed by measuring in a random orthonormal basis. This gives the first example of a group where random representation bases do help in solving the HSP and for which no explicit representation bases are known that solve the problem with (\log G)^O(1) Fourier samplings. As an interesting by-product of our work, we get an algorithm for solving the state identification problem for a set of nearly orthogonal pure quantum states.

연구 동기 및 목표

• 비아벨리안 HSP에 대해 약한 푸리에 샘플링의 한계를 극복할 수 있는가를 무작위 또는thonormal 기저에서의 푸리에 샘플링이 가능할지 조사한다.
• 무작위 강력한 푸리에 샘플링이 HSP 해결에 효과적으로 작용할 조건을 규명한다.
• 무작위 강력 샘플링의 효과성을 측정하는 새로운 군론적 매개변수 $ r(G) $를 수립한다.
• 명시적인 기저가 알려져 있지 않음에도 불구하고 헤이젠베르크 군에서 무작위 강력 샘플링을 통해 효율적으로 해결할 수 있음을 보여준다.
• 보조적으로 거의 수직인 양자 상태 식별 문제를 해결하는 양자 알고리즘을 제공한다.

제안 방법

• 무작위 강력한 푸리에 샘플링을 통한 부분군의 구별 가능성 측정을 위한 새로운 군 매개변수 $ r(G) $를 도입한다.
• 기약 표현 $ \rho $ 기반으로 $ r(G; H_1, H_2; \rho) $를 정의하며, 이는 사영 연산자의 노름과 랭크 조건에 기반한다.
• 표현 이론을 사용하여 정규 코어 가족을 특성화하고, 헤이젠베르크 군 $ {\cal H}_p $의 $ r({\cal H}_p) $를 계산한다.
• 부분군과 관련된 연산자 노름과 랭크를 경계하여 $ r({\cal H}_p) = \Omega(1) $임을 증명한다.
• $ r(G) $ 매개변수를 사용하여 필요한 무작위 강력한 푸리에 샘플링 반복 수를 경계한다: $ O((\log|G|/r(G))^{2}) $.
• 큐비트 수 $ O(\log^3 p) $의 게이트로 $ {\cal H}_p $에서의 양자 푸리에 변환을 구현하고, $ \tilde{O}(p^2) $개의 게이트로 랜덤 또는thonormal 기저에서 측정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적인 기저가 알려져 있지 않은 비아벨리안 군에서 무작위 강력한 푸리에 샘플링이 HSP를 해결할 수 있는가?
• RQ2 무작위 강력 샘플링이 HSP 해결에 충분한 정보를 제공하기 위한 군론적 조건은 무엇인가?
• RQ3 매개변수 $ r(G) $는 랜덤 기저 측정 하에서 은닉 부분군의 구별 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 헤이젠베르크 군은 무작위 강력한 푸리에 샘플링을 사용해 다항식 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ5 무작위 강력 방법을 사용해 거의 수직인 양자 상태 식별 문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 헤이젠베르크 군 $ {\cal H}_p $는 $ r({\cal H}_p) = \Omega(1) $를 만족하며, 이는 무작위 강력한 푸리에 샘플링이 이 군에 대해 효과적임을 증명한다.
• 무작위 강력한 푸리에 샘플링을 $ O(\log p) $번 반복함으로써 $ {\cal H}_p $에서 HSP를 해결할 수 있다.
• 양자 회로는 $ O(\log^4 p) $개의 기본 게이트를 필요로 하며, QFT는 $ O(\log^3 p) $개의 게이트로 수행된다.
• 고전적 후처리는 $ \tilde{O}(p^4) $의 시간이 소요되며, 이는 부분군에 대한 확률 분포 계산이 주요 비용을 차지한다.
• 랜덤 기저 선택에 대해 추가 쿼리 없이도 성공 확률가 최소 $ 2/3 $ 이상을 확보한다.
• 보조적으로, 랜덤 강력 측정을 사용해 거의 수직인 양자 상태를 효율적으로 식별하는 알고리즘이 도출된다.