[논문 리뷰] On the Primes in the Interval [3n, 4n]

Andy Loo|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 11.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 1인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 모든 양의 정수 $ n $에 대해 구간 $[3n, 4n]$에 적어도 한 개의 소수가 존재함을 증명한다. 이는 베르트랑의 추측(해당하는 구간이 $[n, 2n]$인 경우)을 $k=3$로 확장한 것이다. 기본 수론과 이항계수, 원주율의 상한선을 이용하여, $n$이 증가함에 따라 무한히 증가하는 $[3n, 4n]$ 내 소수의 수에 대한 하한을 확립한다. 이는 소수정리나 깊은 해석적 도구를 사용하지 않고 이루어진다.

ABSTRACT

For the old question whether there is always a prime in the interval [kn, (k+1)n] or not, the famous Bertrand's postulate gave an affirmative answer for k=1. It was first proved by P.L. Chebyshev in 1850, and an elegant elementary proof was given by P. Erdos in 1932. M. El Bachraoui used elementary techniques to prove the case k=2 in 2006. This paper gives a proof of the case k=3, again without using the prime number theorem or any deep analytic result. In addition we give a lower bound for the number of primes in the interval [3n, 4n], which shows that as n tends to infinity, the number of primes in the interval [3n, 4n] goes to infinity.

연구 동기 및 목표

• 모든 양의 정수 $n$에 대해 구간 $[3n, 4n]$에 적어도 한 개의 소수가 존재함을 보이는 것. 이는 베르트랑의 추측을 $k=3$로 확장하는 것이다.
• $n$에 대해 $[3n, 4n]$ 내 소수의 존재성을 소수정리나 복소해석학을 사용하지 않고 원시적인 방법으로 증명하는 것.
• $n$에 대한 함수로서 $[3n, 4n]$ 내 소수의 수에 대한 비자명한 하한을 도출하는 것.
• $n$이 증가함에 따라 $[3n, 4n]$ 내 소수의 수가 무한히 증가함을 보이는 것.

제안 방법

• 이항계수 $\binom{4n}{3n}$을 중심 대상으로 삼으며, 소수의 크기에 따라 세 부분으로 분해한다: $T_1$, $T_2$, $T_3$.
• Lemma 1.2를 이용하여 $\leq x$인 소수의 곱에 대한 상한을 적용한다: $\prod_{p \leq x} p \leq 4^x$.
• 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 통해 스타링어 유사 상한을 이용하여 $n!$을 추정하며, $g(n) < n! < f(n)$를 만족한다. 또한 관련 함수 $h_1(x)$와 $h_2(x)$의 단조성 증명을 수행한다.
• 각 소수 $p$에 대해 $\binom{4n}{3n}$에서의 지수 $\beta(p)$를 분석하여, $\sqrt{4n} < p \leq 3n$일 때 $\beta(p) \leq 1$임을 보이고, 일부 범위에서는 $p$의 배수가 $4n$를 초과해 $\beta(p) = 0$임을 밝힌다.
• 중간 범위의 소수 기여도를 $T_2$에 대해 제한하기 위해 보조적인 이항계수 유사 곱 $A, B, C, D$를 구성한다.
• 이를 통해 $T_3$—$(3n, 4n]$ 내 소수의 곱—에 대한 하한을 도출한다. $\binom{4n}{3n}$, $T_1$, $T_2$의 상한과 결합하여 $T_3 \to \infty$임을 보이며, $n \to \infty$일 때 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 양의 정수 $n$에 대해 구간 $[3n, 4n]$에 적어도 한 개의 소수가 존재하는가?
• RQ2 이 결과는 소수정리나 복소해석학을 사용하지 않고 원시적인 기법으로 증명될 수 있는가?
• RQ3 $n$의 함수로서 $[3n, 4n]$ 내 소수의 수에 대한 비자명한 하한은 무엇인가?
• RQ4 $n$이 증가함에 따라 $[3n, 4n]$ 내 소수의 수가 무한히 증가하는가?

주요 결과

• 모든 양의 정수 $n$에 대해 구간 $[3n, 4n]$에 적어도 한 개의 소수가 존재한다.
• $n$이 무한히 증가함에 따라 $[3n, 4n]$ 내 소수의 수가 무한히 증가한다. 즉, 임의의 $m$에 대해 $L$이 존재하여 모든 $n \geq L$에 대해 $[3n, 4n]$에 적어도 $m$개의 소수가 존재함을 의미한다.
• $(3n, 4n)$ 내 소수의 수에 대한 하한은 $\log_{4n}\left(\frac{\sqrt{3}\pi^{3/2}}{332800}e^{E}M^{n}(4n)^{-\sqrt{n}}n^{-5/2}\right)$로 주어지며, 이 값은 $n \to \infty$일 때 무한히 증가한다.
• 하한에 등장하는 상수 $M$은 $M > 1$를 만족하여 하한이 지수적으로 증가함을 보장하며, $e^E \to 1$로 수렴한다.
• 증명은 완전히 원시적이며, 소수정리나 복소해석학을 사용하지 않고, 계승, 이항계수, 원주율에 대한 상한만을 사용한다.
• 직접 검증을 통해 $n < e^{12}$일 때 결과가 성립함을 확인하였으며, 점점 증가하는 $n$에 대한 점근적 추론은 $n \geq e^{12}$를 커버하여 $n \geq 1$에 대해 전체 증명이 완료된다.