[논문 리뷰] On the principal impossibility to prove P=NP

Natalia Malinina|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 15.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 그래프 이somorphism의 본질적 구조적 한계와 변환 하에서 순환수(cyclomatic number)의 행동으로 인해 P ≠ NP를 증명하는 것이 본질적으로 불가능하다고 주장한다. 준표준 인접행렬과 Δn-변환을 분석함으로써, 일부 그래프가 다항시간 해법 형태로 정규화되는 것을 저지하는 구조적 특성을 입증하며, 이는 NP-완전성이 다항시간으로 제어할 수 없는 위상적 불변량(topological invariants)에 기인함을 시사한다. 따라서 P = NP를 증명하는 데 있어 근본적인 불가능성을 확립한다.

ABSTRACT

The material of the article is devoted to the most complicated and interesting problem -- a problem of P = NP?. This research was presented to mathematical community in Hyderabad during International Congress of Mathematicians. But there it was published in a very brief form, so this article is an attempt to give those, who are interested in the problem, my reasoning on the theme. It is not a proof in full, because it is very difficult to prove something, which is not provable, but it seems that these reasoning will help us to understand the problem of the combinatorial explosion more deeply and to realize in full all the problems to which we are going because of the combinatorial explosion. Maybe we will realize that the combinatorial explosion is somehow a law, such a law, which influences the World, as Newton's law of gravitation influences the fall of each thing.

연구 동기 및 목표

• 그래프 이론을 활용하여 P = NP를 증명하는 데 있어 근본적인 장벽을 탐구하는 것.
• 그래프 이somorphism과 인접행렬 변환의 구조적 한계를 분석하는 것.
• Δn-변환 하에서 순환수의 행동이 P = NP를 증명하는 데 있어 극복할 수 없는 장애물이 된다는 것을 입증하는 것.
• Church-Turing 논법과 알고리즘 정규화가 그래프의 본질적 복잡성으로 인해 NP-완전성을 해결하지 못한다는 것을 보여주는 것.
• P ≠ NP는 뿐만 아니라 아직 증명되지 않았을 뿐 아니라, 그래프 변환에서의 위상적 불변량으로 인해 본질적으로 증명 불가능하다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 이중 정점 및 간선 그래프 조건을 만족하는 준표준 인접행렬의 개념을 도입한다.
• 변환 중 전이성을 유지하면서도 이진 관계를 변경하지 않는 방식으로 그래프 구조를 수정하는 Δn-변환을 적용한다.
• 순환수 행동에 따라 그래프를 3종류로 분류한다: 토포그래픽, 이질주의적, 점진적-이질주의적.
• 위상적 불변량—요소 수, 이진 관계 시스템, 순환수—를 구조적 동치의 기준으로 사용한다.
• 오직 토포그래픽 그래프(윤곽선이나 특정 구조적 간격이 없는 그래프)에서만 순환수가 변환의 정규 불변량이 될 수 있음을 증명한다.
• 정리 [2] 및 [3]을 기반으로 한 알고리즘을 구축하여 다항시간임을 입증하지만, 여전히 NP-완전성을 해결하지 못한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 이somorphism의 구조적 제약 조건을 고려할 때, NP-완전 문제에 대한 일반적인 다항시간 알고리즘이 존재할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 인접행렬이 동시에 정점 그래프와 간선 그래프를 나타낼 수 있는가?
• RQ3 알고리즘 정규화가 이루어졌음에도 불구하고 P = NP를 증명하려는 尝시가 왜 끊임없이 실패하는가?
• RQ4 Δn-변환 하에서 순환수는 어떻게 행동하는가? 이는 NP-완전성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 NP-완전 문제를 P로 감소시키는 데 있어 근본적인 위상적 또는 대수적 장벽이 존재하는가?

주요 결과

• 순환수가 변환의 정규 불변량이 되는 것은 오직 윤곽선과 특정 구조적 간격이 없는 토포그래픽 그래프에서만 가능하다.
• 점진적-이질주의적 그래프는 무한한 변환 단계를 거쳐도 정규 순환수에 도달하지 못하므로 정규화에 저항한다.
• 순환수 행동이 본질적으로 다름을 보이는 겹치지 않는 그래프 클래스의 존재는 일반적인 다항시간 감소가 불가능하다는 것을 시사한다.
• 준표준 인접행렬 정리에 따르면, 행렬이 동시에 정점 및 간선 인접행렬으로 이중화되기 위한 필요 및 충분 조건을 제공한다.
• 정리 [2] 및 [3]을 기반으로 한 다항시간 알고리즘을 구축했음에도 불구하고, 저자는 알고리즘 제어가 불가능한 구조적 불변량으로 인해 P ≠ NP임을 결론 내린다.
• 논문은 P = NP가 뿐만 아니라 증명되지 않았을 뿐 아니라, 그래프 변환에서의 본질적 위상적 제약으로 인해 근본적으로 증명 불가능하다고 결론 내린다.