[논문 리뷰] On the properties of information gathering in quantum and classical measurements

Kurt Jacobs|ArXiv.org|2003. 04. 30.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 측정과 고전적 측정에서의 정보 이득을 조사하며, 초기 상태에 대한 정보(통신에 유용함)와 최종 후측정 상태에 대한 정보(상태 준비에 유용함)를 구분한다. 대칭 측정에 대해 정보 이득이 初기 불확실성과 함께 증가함을 증명하고, 유니타리 공변성과 교환 대칭성을 가지는 측정의 고전적 용량을 유도하며, 이는 각각 본-뉴만 엔트로피와 부분엔트로피에 의해 지배됨을 보여준다.

ABSTRACT

The information provided by a classical measurement is unambiguously determined by the mutual information between the output results and the measured quantity. However, quantum mechanically there are at least two notions of information gathering which can be considered, one characterizing the information provided about the initial preparation, useful in communication, and the other characterizing the information about the final state, useful in state-preparation and control. Here we are interested in understanding the properties of these measures, and the information gathering capacities of quantum and classical measurements. We provide a partial answer to the question `in what sense does information gain increase with initial uncertainty?' by showing that, for classical and quantum measurements which are symmetric with respect to reversible transformations of the state space, the information gain regarding the initial state always increases with the observer's initial uncertainty. In addition, we calculate the capacity of all unitarily covariant and commutative permutation-symmetric measurements for obtaining classical information. While it is the von Neumann entropy of the effects which appears in the latter capacity, it is the subentropy which appears in the expression for the former.

연구 동기 및 목표

• 양자 측정에서 두 가지 정보 이득 개념의 차이를 명확히 하기: 하나는 초기 상태 준비에 관한 것이고, 다른 하나는 최종 후측정 상태에 관한 것.
• 관측자의 초기 불확실성에 따라 대칭적인 양자 및 고전적 측정에서 정보 이득이 어떻게 달라지는지 조사하기.
• 유니타리 공변성과 교환 대칭성을 가지는 측정의 고전적 정보 용량을 유도하기.
• 다른 측정 클래스에 대해 용량을 특징짓는 엔트로피 척도—본-뉴만 엔트로피 또는 부분엔트로피—중 어느 것이 해당하는지 규명하기.

제안 방법

• 고전적 측정이 가환성, 양성, 대각선 연산자로 구성된 양자 POVM의 부분집합으로 표현되는 통합 형식을 사용한다.
• 유니타리 피드백을 적용하여 어떤 양자 측정이라도 양성 연산자 측정으로 시뮬레이션 가능함을 보여 분석을 단순화한다.
• 대칭 측정을 가역 변환에 대한 불변성으로 정의한다: 교환 대칭성(기저 순열에 대해 불변)과 유니타리 공변성(유니타리 켤레에 대해 불변).
• 균일한 앙상블에 대한 상호정보량을 사용해 고전적 용량을 유도하며, 이를 입력 엔트로피와 조건부 엔트로피의 차이로 표현한다.
• 유니타리 변환에 대한 하르 측도 적분을 통해 조건부 엔트로피를 평가하고, 확률 단체 위의 적분으로 이어진다.
• 조지사, 로브, 우터스의 알려진 결과를 사용해 적분을 해결하여 부분엔트로피와 조화급수를 포함하는 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 측정 상황에서 관측자의 초기 불확실성에 따라 양자 측정의 정보 이득은 어떻게 달라지는가?
• RQ2 양자 측정에서 초기 상태에 대한 정보 이득과 최종 상태에 대한 정보 이득은 무엇으로 구별되는가?
• RQ3 유니타리 공변 측정의 고전적 정보 용량은 얼마이며, 이를 지배하는 엔트로피 척도는 무엇인가?
• RQ4 교환 대칭성과 가환성을 가지는 측정의 용량은 유니타리 공변 측정의 용량과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 왜 초기 상태 정보의 용량 공식에서는 부분엔트로피가 나타나고, 최종 상태 정보의 경우 본-뉴만 엔트로피가 나타나는가?

주요 결과

• 교환 대칭성과 유니타리 공변성을 가지는 대칭 측정의 경우, 초기 상태에 대한 정보 이득은 관측자의 초기 불확실성이 증가할수록 증가한다.
• 유니타리 공변 측정의 고전적 용량은 $ C = \ln N - N H[Q(U|\psi)] $ 로 주어지며, 여기서 $ H[Q(U|\psi)] $ 는 결과에 대한 조건부 확률 분포의 엔트로피이다.
• 조건부 엔트로피의 적분 결과는 $ N H[Q(U|\psi)] = Q(E) + \sum_{k=2}^{N} \frac{1}{k} $ 로 표현되며, 여기서 $ Q(E) $ 는 효과 연산자 $ E $ 의 부분엔트로피이다.
• 용량은 $ E = I/N $ 일 때 최대가 되며, 이 경우 용량이 0이 되어 최대 불확실성과 일치한다.
• 완전한 측정(랭크-1 프로젝터)의 경우 용량은 $ \frac{1}{N} \left( \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N} \right) $ 나트로 줄어들며, 베타 함수 적분으로부터 도출된다.
• 부분엔트로피 $ Q(E) $ 는 항상 본-뉴만 엔트로피 $ S(E) $ 보다 작거나 같으며, $ E $ 의 고유값이 중복되어도 유한하게 유지된다.