[논문 리뷰] On the properties of tensor complementarity problems

Wen Zhen Yu, Chen Ling외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 05.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 15인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 닫힌 볼록 날카로운 원뿔 위에서 텐서 보완 문제(TCP)를 조사하며, 고전적인 비선형 보완 이론을 확장한다. 이전에 알려진 바보다 더 약한 공백성 조건 하에서 해의 존재성을 확립하고, 해 집합의 위상적 성질을 도출하며, 해의 안정성을 입증함으로써, 비음수 원뿔과 구조적 텐서에 국한된 이전 연구를 초월하는 TCP 이론의 풍부함을 제공한다.

ABSTRACT

Properties of solutions of the tensor complementarity problem (TCP) for structured tensors have been investigated in recent literature. In this paper, we make further contributions on this problem. Specifically, we first derive solution existence theorems for TCPs on general cones from the results studied in the nonlinear complementarity problem literature. An interesting byproduct is that conditions (e.g., strict copositivity) of solution existence results for TCPs on the nonnegative cone can be reduced to copositivity, which, to the best of our knowledge, is the weakest requirement in the current TCP literature. Moreover, we study the topological properties of the solution set and stability of the TCP at a given solution, which are not discussed before and further enrich the theory of TCPs.

연구 동기 및 목표

• 비음수 원뿔에서 텐서 보완 문제(TCP)를 일반적인 닫힌 볼록 날카로운 원뿔으로 확장하기.
• 특히 엄격한 공백성 조건을 공백성 조건으로 약화시켜, 현재의 TCP 문헌에서 알려진 바 중 가장 약한 조건으로 줄이는 것.
• 일반적인 TCP에 대해 해 집합의 위상적 성질을 조사하기, 이는 이전에 TCP 문헌에서 다루지 않은 주제이다.
• 주어진 해 점에서 해의 안정성을 분석하여, 해의 강건성에 대한 새로운 이론적 통찰을 제공하기.

제안 방법

• 비선형 보완 문제(NCP) 이론에서 유래된 결과, 특히 Gowda와 Pang(1992)의 결과를 일반 원뿔 위의 TCP에 대해 적용하여 존재성 정리를 도출한다.
• 해의 존재 조건으로 공백성과 엄격한 공백성을 핵심 조건으로 사용하며, 일반 원뿔 설정 하에서 공백성이 충분함을 보인다.
• 접선 원뿔과 정규 원뿔 등의 변분해석 도구를 활용하여 해 집합의 위상적 구조를 연구한다.
• 편미분 분석 프레임워크를 적용하여 해의 안정성을 검토하며, 정규화된 수열과 점근적 행동을 이용해 모순 기반 증명을 유도한다.
• 프레셰 도함수와 $\mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1}$의 연속성을 활용하여 방향 도함수와 안정성 조건을 분석한다.
• 일반화된 의미에서 은폐함수 정리 프레임워크를 적용하여, $\mathcal{A}$와 $\mathbf{q}$의 소규모 변화에 따른 해의 행동을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 원뿔에서 텐서 보완 문제를 일반적인 닫힌 볼록 날카로운 원뿔으로 의미 있게 확장할 수 있는가?
• RQ2 일반 원뿔 설정 하에서 TCP의 해 존재 조건을 엄격한 공백성에서 공백성으로 약화시킬 수 있는가?
• RQ3 일반 TCP의 해 집합의 위상적 성질(예: 닫힘, 연결성 등)은 무엇인가?
• RQ4 텐서 $\mathcal{A}$와 벡터 $\mathbf{q}$의 소규모 변화에 따라 TCP의 해는 어떻게 행동하는가? 즉, 해는 안정적인가?

주요 결과

• 일반 원뿔 위에서의 TCP에 대해 공백성 조건 하에서 해 존재성이 입증되었으며, 이는 이전 연구에서 사용된 엄격한 공백성 조건보다 더 약한 조건이다.
• 비음수 원뿔 $\mathbb{R}^n_+$의 특수한 경우에서, $\mathcal{A}$의 공백성이 해 존재성에 충분함을 보였으며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 제시된 조건 하에서 해 집합 $\mathrm{SOL}(K, \mathbf{q}, \mathcal{A})$가 닫힘과 유계임을 증명하여, 그 위상적 규칙성을 확립한다.
• 논문은 해의 안정성을 입증한다: $\mathcal{A}^{(l)} \to \bar{\mathcal{A}}$ 및 $\mathbf{q}^{(l)} \to \bar{\mathbf{q}}$ 이면 $\|\mathbf{x}^{(l)} - \bar{\mathbf{x}}\| = o(\|\mathbf{q}^{(l)} - \bar{\mathbf{q}}\| + \|\mathcal{A}^{(l)} - \bar{\mathcal{A}}\|_F)$를 만족하며, 이는 강력한 안정성을 나타낸다.
• 불안정성 가정 하에서 모순을 도출함으로써, 해의 수열이 변화량보다 더 빠르게 발산할 수 없음을 증명하여, 해의 강건성을 확인한다.
• 논문은 일반 TCP 프레임워크에서 해의 안정성과 위상적 구조에 대한 첫 번째 분석을 제공하며, 현재 문헌에서 상당한 격차를 메운다.