[논문 리뷰] On the q-Extensions of the Bernoulli and Euler Numbers, Related Identities and Lerch Zeta Function

Taekyun Kim, Young‐Hee Kim외 1명|ArXiv.org|2009. 01. 02.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 p-진 q-적분을 사용하여 λ-Bernoulli 및 λ-Euler 수의 q-확장을 도입하고, 새로운 항등식을 유도하며 Lerch zeta 함수와의 연결을 수립한다. 주요 기여는 λ-q-Bernoulli 및 λ-q-Euler 수의 생성함수를 통해 Lerch zeta 함수의 q-대체를 구성하는 것으로, 그 결과로 모든 k ∈ ℕ에 대해 ζ_q(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k 가 성립한다.

ABSTRACT

Recently, $λ$-Bernoulli and $λ$-Euler numbers are studied in [5, 10]. The purpose of this paper is to present a systematic study of some families of the $q$-extensions of the $λ$-Bernoulli and the $λ$-Euler numbers by using the bosonic $p$-adic $q$-integral and the fermionic $p$-adic $q$-integral. The investigation of these $λ$-$q$-Bernoulli and $λ$-$q$-Euler numbers leads to interesting identities related to these objects. The results of the present paper cover earlier results concerning $q$-Bernoulli and $q$-Euler numbers. By using derivative operator to the generating functions of $λ$-$q$-Bernoulli and $λ$-$q$-Euler numbers, we give the $q$-extensions of Lerch zeta function.

연구 동기 및 목표

• p-진 q-적분을 사용하여 λ-Bernoulli 및 λ-Euler 수의 체계적 q-확장을 개발하는 것.
• λ-변형을 통합함으로써 이전의 q-Bernoulli 및 q-Euler 수에 대한 결과를 일반화하는 것.
• 적분 표현을 통해 λ-q-Bernoulli 및 λ-q-Euler 수를 포함하는 새로운 항등식을 수립하는 것.
• λ-q-특수 수의 생성함수를 사용하여 q-확장된 Lerch zeta 함수를 정의하고 분석하는 것.
• q- 및 λ-변형 설정에서 이전의 zeta 함수 및 특수 수열에 대한 결과들을 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• λ-q-Bernoulli 및 λ-q-Euler 수를 정의하기 위해 보존형 p-진 q-적분 I_q(f) = ∫_{ℤ_p} f(x) dμ_q(x) 와 페르미온형 p-진 q-적분 I_{-q}(f) = ∫_{ℤ_p} f(x) dμ_{-q}(x) 를 사용한다.
• λ-q-Bernoulli 및 λ-q-Euler 수의 생성함수에 미분 연산자를 적용하여 Lerch zeta 함수의 q-확장을 도출한다.
• DC 유형의 λ-q-Euler 다항식을 위한 생성함수 g*(t,λ:q) = ∫_{ℤ_p} λ^x e^{[x]_q t} dμ_{-q}(x) = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m e^{[m]_q t} 를 활용한다.
• p-진 q-적분에 대해 q^n I_{-q}(f_n) = (−1)^n I_{-q}(f) + [2]_q ∑_{l=0}^{n-1} (−1)^{n−1−l} q^l f(l) 와 같은 재귀 관계를 유도한다.
• q-급수 [m]_q^s 를 포함하는 q-급수를 바탕으로 두 가지의 Lerch zeta 함수에 대한 q-확장인 ζ_q(λ,s) 와 ζ_q^*(λ,s) 를 구성한다.
• q-Bernoulli 수와 zeta 함수의 음의 정수에서의 관계를 맺기 위해 β_k,q(λ)/k = −∑_{m=1}^∞ q^m λ^m [m]_q^{k−1} 라는 항등식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 p-진 q-적분을 사용하여 λ-Bernoulli 및 λ-Euler 수를 q-대체로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 λ-q-Bernoulli 및 λ-q-Euler 수의 q-확장에서 어떤 항등식이 도출되는가?
• RQ3 λ-q-Bernoulli 및 λ-q-Euler 수의 생성함수는 어떻게 Lerch zeta 함수의 q-확장을 이끌어내는가?
• RQ4 q-확장된 Lerch zeta 함수와 λ-q-Bernoulli 수 사이의 기능적 관계는 무엇인가?
• RQ5 Lerch zeta 함수의 q-확장은 q-급수 및 특수 수열의 관점에서 표현될 수 있는가?

주요 결과

• q-확장된 Lerch zeta 함수 ζ_q(λ,s) 는 |q|<1 이고 λ = e^{2πi/f} 일 때 (1−q)(2−s)/(s−1) ∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^{s−1} + ∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^s 로 정의된다.
• 모든 k ∈ ℕ 에 대해 기능적 방정식 ζ_q(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k 가 성립하며, 이는 q-확장 zeta 함수와 λ-q-Bernoulli 수를 연결한다.
• 두 번째 q-확장 ζ_q^*(λ,s) 는 ∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^s 로 정의되며, ζ_q^*(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k 를 만족한다.
• DC 유형의 λ-q-Euler 수는 E_n,q^*(λ) = ∫_{ℤ_p} λ^x [x]_q^n dμ_{-q}(x) = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m [m]_q^n 으로 정의된다.
• DC 유형의 λ-q-Euler 다항식의 생성함수는 ∑_{n=0}^∞ E_n,q^*(λ,x) t^n / n! = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m e^{[m+x]_q t} 로 주어진다.
• 결과들은 이전의 q-Bernoulli 및 q-Euler 수에 대한 연구를 일반화하며, λ-변형과 p-진 적분 방법을 통합한다.