[논문 리뷰] On the Rényi Rate-Distortion-Perception Function and Functional Representations

Jiahui Wei, Marios Kountouris|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 17.

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한 줄 요약

이 논문은 Rate-Distortion-Perception 프레임워크를 Sibson의 alpha-상호정보를 사용하여 Rényi 정보 체계로 일반화하고, 가우시안 케이스 해를 도출하며, alpha에 따라 heavy-tailed와 finite-support 코드북 사이의 기능 표현에서 위상 전이를 밝혀낸다.

ABSTRACT

We extend the Rate-Distortion-Perception (RDP) framework to the Rényi information-theoretic regime, utilizing Sibson's $α$-mutual information to characterize the fundamental limits under distortion and perception constraints. For scalar Gaussian sources, we derive closed-form expressions for the Rényi RDP function, showing that the perception constraint induces a feasible interval for the reproduction variance. Furthermore, we establish a Rényi-generalized version of the Strong Functional Representation Lemma. Our analysis reveals a phase transition in the complexity of optimal functional representations: for $0.5<α< 1$, the coding cost is bounded by the $α$-divergence of order $α+1$, necessitating a codebook with heavy-tailed polynomial decay; conversely, for $α> 1$, the representation collapses to one with finite support, offering new insights into the compression of shared randomness under generalized notions of mutual information.

연구 동기 및 목표

• Sibson의 alpha-상호정보를 사용하여 Rate-Distortion-Perception를 Rényi 정보 설정으로 일반화한다.
• MSE 왜곡 및 인지 제약하에서 스칼라 가우시안 소스에 대한 닫힌 형태의 Rényi RDP를 도출한다.
• Poisson 함수 표현을 사용한 Rényi 일반화된 Strong Functional Representation Lemma(SFRL)을 확립한다.
• alpha에 따라 코드북 지지의 구조를 특징짓고 위상 전이가 나타나는 최적 Rényi 표현을 규명한다.
• 일반화된 상호정보 아래 Campbell의 코딩 비용과의 관련성을 논의하고 강건하고 분포-시프트된 모델링에 대한 시사점을 논의한다.

제안 방법

• Rényi RDP 함수 R_alpha(D,P)를 P_{Y|X}의 I_alpha(X;Y)의 II(Infimum)로 정의하고, 왜곡 E[d(X,Y)] ≤ D 및 인식 d_P(P_X,P_Y) ≤ P를 만족하도록 한다.
• 볼록성 특성을 증명하고 최적화를 가능하게 하는 볼록 대리목 J_alpha(X;Y)=2^{((alpha-1)/alpha) I_alpha(X;Y)}를 사용한다.
• 가우시안 X ~ N(0, sigma_X^2)이며 제곱 오차 왜곡일 때, R_alpha(D) = (1/2) log(1 + alpha (sigma_X^2 - D)/D) 를 도출하고 Y = cX + Z라는 선형 가우시안 테스트 채널을 통해 달성 가능함을 보이고 sharp Young 부등식으로 검증한다.
• 인지를 포함시켜 재생 분산을 가능한 구간으로 한정하고 RD 최적 분산을 교차점으로 사영하여 R_alpha(D,P)를 얻는다.
• Sibson 최적 주변 분포 Q_{Y_alpha}에 대해 Poisson 함수 표현을 사용하여 Rényi regime에 Strong Functional Representation Lemma(Rényi-SFRL)을 확장한다.
• 기능 표현에서 지수 K의 Rényi 엔트로피에 대한 경계를 도출하고, alpha가 (0.5,1)일 때는 무한 지지의 heavy-tailed 코드, alpha > 1일 때는 유한 지지 표현을 보인다.
• Campbell의 코딩 비용과의 연관성을 논의하고 스칼라 가우시안 소스에 대한 수치적 검증을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Rényi rate-distortion-perception 함수 R_alpha(D,P)는 무엇이며 일반 소스에 대해 어떻게 계산될 수 있는가?
• RQ2 Rényi 체계를 고려할 때 인지가 재생을 어떻게 제약하는가, 특히 가우시안 소스에 대해?
• RQ3 Rényi-일반화된 Strong Functional Representation Lemma를 확립할 수 있는가, 그리고 최적 표현의 구조와 비용은 무엇인가?
• RQ4 알파가 0.5와 1을 넘을 때 기능 표현에서 코드북 지지 및 꼬리 동작 측면에서 어떤 위상 전이가 발생하는가?
• RQ5 이러한 Rényi 기반 결과가 Campbell의 코딩 비용 및 일반화된 상호정보 하에서 공유 난수의 실용적 코딩과 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• MSE 왜곡을 갖는 가우시안 소스에 대해, Rényi RDP 함수는 R_alpha(D) = (1/2) log(1 + alpha (sigma_X^2 - D)/D).
• 인지 제약은 재생 분산의 가능한 구간으로 축소되고, 최적의 sigma_Y^2은 왜곡- 및 인지-가능 구간의 교차점으로의 유클리드 사영이다.
• Sibson 최적 주변 분포에 대한 Poisson 함수 표현을 사용하여 Rényi-일반화된 Strong Functional Representation Lemma를 확립하고, 코딩 비용을 Sibson의 I_alpha+1(X;Y)와 연결한다.
• 0.5 < alpha < 1일 때 최적 표현은 무한 지지에 heavy polynomial tails를 가지며, alpha > 1일 때는 p_k가 유한 K_max를 넘으면 0이 되는 유한 지지로 붕괴한다.
• heavy-tailed 구간은 코딩 비용이 alpha+1 발산에 의해 상한을 가지고, 유한 지지 구간은 로그 모멘트를 통해 상한을 가지며, 복잡도/왜곡/인지의 상이한 트레이드오프를 강조한다.
• 가우시안 X를 이용한 수치 시뮬레이션은 heavy-tailed 대 finite-support 동작을 확인하고 Rényi-SFRL 경계를 검증한다.