[논문 리뷰] On the randomised query complexity of composition

Dmitry Gavinsky, Troy Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 07.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복합 관계의 랜덤화된 질의 복잡도에 대해 날카운 하한을 확립하며, 임의의 관계 $f$와 프로미스 함수 $g$에 대해 $f \circ g^n$의 복잡도가 $\Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$ 이상임을 보여준다. 저자들은 극성화된 프로토콜 트리와 함께 새로운 시뮬레이션 추론을 통해 이를 증명하고, 상한이 일정 요소까지 최적임을 보여주는 일관된 상한 예를 구성한다.

ABSTRACT

Let $f\subseteq\{0,1\}^n imesΞ$ be a relation and $g:\{0,1\}^m o\{0,1,*\}$ be a promise function. This work investigates the randomised query complexity of the relation $f\circ g^n\subseteq\{0,1\}^{m\cdot n} imesΞ$, which can be viewed as one of the most general cases of composition in the query model (letting $g$ be a relation seems to result in a rather unnatural definition of $f\circ g^n$). We show that for every such $f$ and $g$, $$\mathcal R(f\circ g^n) \in Ω(\mathcal R(f)\cdot\sqrt{\mathcal R(g)}),$$ where $\mathcal R$ denotes the randomised query complexity. On the other hand, we demonstrate a relation $f_0$ and a promise function $g_0$, such that $\mathcal R(f_0)\inΘ(\sqrt n)$, $\mathcal R(g_0)\inΘ(n)$ and $\mathcal R(f_0\circ g_0^n)\inΘ(n)$ $-$ that is, our composition statement is tight. To the best of our knowledge, there was no known composition theorem for the randomised query complexity of relations or promise functions (and for the special case of total functions our lower bound gives multiplicative improvement of $\sqrt{\log n}$).

연구 동기 및 목표

• 외부 문제 $f$가 관계이고 내부 문제 $g$가 프로미스 함수인 복합 관계의 랜덤화된 질의 복잡도에 대한 일반적인 하한을 확립하는 것.
• 관계 또는 프로미스 함수의 경우 랜덤화된 질의 복잡도에 대한 구성 정리가 부족한 문제를 해결하는 것.
• 전체 함수에 대한 이전 결과를 향상시켜, $\sqrt{\mathcal{R}(g)/\log \mathcal{R}(g)}$ 대신 $\sqrt{\mathcal{R}(g)}$의 곱셈 인자로 달성하는 것.
• 특정 예시를 통해 하한의 최적성을 입증하는 것: $\mathcal{R}(f_0) = \Theta(\sqrt{n})$, $\mathcal{R}(g_0) = \Theta(n)$, $\mathcal{R}(f_0 \circ g_0^n) = \Theta(n)$.

제안 방법

• 저자들은 질의 프로토콜을 기반으로 한 증명 기법을 사용하여, 주어진 $f \circ g^n$ 프로토콜로부터 $f$를 위한 새로운 프로토콜을 구성한다.
• 질의 프로토콜을 표현하고 $g$의 입력에 대한 조건부 분포를 분석하기 위해 '극성화된 프로토콜 트리'를 도입한다.
• 새로운 프로토콜 트리의 노드에 동작을 할당하여, 원래 프로토콜이 $g$의 출력 분포에 대해 보이는 행동을 모방하도록 한다.
• 원래 프로토콜 트리의 각 내부 노드에 대해, 새로운 트리의 대응 노드를 생성하며, 해당 노드까지의 경로에 따라 $g(x_i) = 1$일 확률을 유지하도록 동작를 선택한다.
• 원래 프로토콜이 높은 확률로 $f \circ g^n$을 정확히 계산한다면, 시뮬레이션된 프로토콜도 동일한 성공 확률로 $f$를 정확히 계산함을 보장한다.
• 확률이 동일한 특수 케이스는 $Z$-믹서를 사용하여 처리하고, 그 외의 경우 $Z$-노드를 사용하여 원하는 조건부 확률과 일致하도록 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관계 $f$와 프로미스 함수 $g$일 때 $f \circ g^n$의 최적 하한은 무엇인가요?
• RQ2 랜덤화된 질의 복잡도에 대한 구성 정리가 전체 함수를 초월해 관계와 프로미스 함수를 포함하도록 확장될 수 있는가요?
• RQ3 하한 $\Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$는 복합 문제에 대해 최적입니까?
• RQ4 이전 결과에서 전체 함수에 대해 $\log$-요소의 손실이 있었던 점을 고려할 때, 이 하한은 그에 비해 개선되었나요?
• RQ5 하한이 점근적으로 최적임을 입증할 수 있는 구체적인 예를 구성할 수 있나요?

주요 결과

• 논문은 일반 하한을 확립한다: 임의의 관계 $f$와 프로미스 함수 $g$에 대해 $\mathcal{R}(f \circ g^n) \in \Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$이며, 이는 이 설정에서 처음으로 제시된 구성 정리이다.
• 저자들은 $\mathcal{R}(f_0) = \Theta(\sqrt{n})$, $\mathcal{R}(g_0) = \Theta(n)$, $\mathcal{R}(f_0 \circ g_0^n) = \Theta(n)$인 일致한 예를 구성하여, 하한이 일정 요소까지 최적임을 입증한다.
• 전체 함수에 대한 이전 작업을 향상시켜, 분모에 $\log \mathcal{R}(g)$ 요소를 제거하고 $\sqrt{\mathcal{R}(g)}$의 곱셈 인자로 대체함으로써 개선된 결과를 얻는다.
• 시뮬레이션 방법은 정확성과 질의 복잡도를 유지하며, $f \circ g^n$을 위한 임의의 프로토콜이 일정 요소 이내의 질의 복잡도로 $f$를 위한 프로토콜로 변환될 수 있음을 보여준다.
• 구성은 극성화된 프로토콜 트리에 의존하며, $g$의 출력에 대한 조건부 확률, 특히 $Z$-믹서를 통한 특수 케이스 처리를 철저히 한다.
• 결과는 $\mathcal{R}(f \circ g^n) \in \Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$가 최적이며 점근적으로 향상될 수 없다는 것을 암시한다.