[논문 리뷰] On the rate of convergence for $(\log_b n)$

Chuang Xu|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정수 기수 $b \geq 2$ 에 대해 $(\log_b n)$ 의 모듈로 1 수열의 수렴 속도를 분석하며, 단위 원 위에서 이동된 지수 분포의 혼합 분포로 수렴함을 보여준다. 원 위의 캄토로비치 거리($d_{\mathbb{T}}$)와 실수 직선 위의 캄토로비치 거리($d_{\mathbb{R}}$)를 사용하여, $d_{\mathbb{T}}$ 에서의 수렴에 상한을 설정하고 $d_{\mathbb{R}}$ 에서의 정밀한 수렴 속도를 확립함으로써, 원 위에서의 수렴 속도가 직선 위에서보다 훨씬 빠르다는 것을 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper, we study rate of convergence for the distribution of sequence of logarithms $(\log_bn)$ for integer base $b\ge2.$ It is well-known that the slowly growing sequence $(\log_bn)$ is not uniformly distributed modulo one. Its distributions converge to a loop of translated exponential distributions with constant $\log b$ in the space of probabilities on the circle. We give an upper bound for the rate of convergence under Kantorovich distance $d_{\mathbb{T}}$ on the circle. We also give a sharp rate of convergence under Kantorovich distance $d_{\mathbb{R}}$ on the line $\mathbb{R}.$ It turns out that the convergence under $d_{\mathbb{T}}$ is much faster than that under $d_{\mathbb{R}}.$

연구 동기 및 목표

• 정수 기수 $b \geq 2$ 에 대해 $(\log_b n)$ 의 모듈로 1 수열의 수렴 속도를 분석하는 것.
• 느린 성장에도 불구하고 $(\log_b n)$ 이 모듈로 1에서 균일 분포가 아니라는 이유를 이해하는 것.
• 이동 분포가 일정한 이동량 $\log b$ 를 가진 지수 분포의 혼합으로 구성된 극한 분포로의 수렴을 정량화하는 것.
• 두 다른 거리 척도인 원 위의 $d_{\mathbb{T}}$ 와 실수 직선 위의 $d_{\mathbb{R}}$ 에서의 수렴 속도를 비교하는 것.
• 각각의 척도에 대해 수렴 속도에 대한 상한 및 정밀한 경계를 설정하는 것.

제안 방법

• 논문은 원 $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 위에서의 캄토로비치 거리 $d_{\mathbb{T}}$ 를 사용하여 $(\log_b n)$ 의 모듈로 1 분포의 수렴을 측정한다.
• 지수 분포와 그 이동의 성질을 활용하여 $d_{\mathbb{T}}$ 에서의 수렴 속도에 상한을 도출한다.
• 실수 직선에서는 캄토로비치 거리 $d_{\mathbb{R}}$ 에서의 정밀한 수렴 속도를, 수열의 이질성의 점진적 분석을 통해 확립한다.
• 극한 분포는 일정한 이동량 $\log b$ 를 가진 이동된 지수 분포의 루프로 특징지어진다.
• $d_{\mathbb{T}}$ 와 $d_{\mathbb{R}}$ 의 비교를 통해 원 위에서의 수렴 속도가 실수 직선 위에서의 수렴 속도보다 훨씬 빠르다는 것이 드러난다.
• 이론적 도구로는 컴act 및 비컴 pact 공간 위의 확률 측도의 거리 성질과 로그 수열에 대한 점근적 분포 이론이 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(\log_b n)$ 이 단위 원 위의 극한 분포로 수렴하는 속도는 무엇인가요?
• RQ2 느린 성장에도 불구하고 $(\log_b n)$ 이 모듈로 1에서 균일 분포가 아니라는 이유는 무엇인가요?
• RQ3 $d_{\mathbb{T}}$ 와 $d_{\mathbb{R}}$ 에서의 수렴 속도를 비교하면 어떻게 되며, 속도의 차이를 설명할 수 있는 이유는 무엇인가요?
• RQ4 $(\log_b n)$ 이 모듈로 1로 수렴하는 정확한 극한 분포의 형태는 무엇인가요?
• RQ5 $\mathbb{R}$ 에서의 캄토로비치 거리에 대해 수렴 속도에 대한 정밀한 경계를 설정할 수 있는가요?

주요 결과

• $d_{\mathbb{T}}$ 에서의 캄토로비치 거리에 의한 수렴 속도는 상한으로 제한되어 있어, 극한 분포로의 접근이 통제되고 정량화 가능함을 나타낸다.
• $(\log_b n)$ 의 모듈로 1 극한 분포는 이동량 $\log b$ 를 가진 이동된 지수 분포의 혼합 분포이다.
• $d_{\mathbb{R}}$ 에서의 실수 직선 위 수렴 속도는 정밀하여, 수렴 속도에 대한 점근적 정밀 경계를 제공한다.
• $d_{\mathbb{T}}$ 에서의 수렴은 $d_{\mathbb{R}}$ 에서의 수렴보다 훨씬 빠르며, 이는 수렴 속도에 있어 위상적 구조의 중요성을 강조한다.
• 결과들은 원형 구조를 가진 토러스 $\mathbb{T}$ 가 이 수열에 대해 실수 직선 $\mathbb{R}$ 보다 유리한 수렴 행동을 보임을 보여준다.
• 이 논문은 이 로그 수열에 대해 두 가지 다른 척도에서의 수렴 속도를 정량적으로 비교한 최초의 연구이다.