[논문 리뷰] On the rate of convergence of strong Euler approximation for SDEs driven by Levy processes

R. Mikulevíčius, Fanhui Xu|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힐버트-연속성 드리프트와 리프시츠 연속성 확산 계수를 갖는 α-안정 레비 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)의 강한 오일러 근사에 대한 수렴 속도를 확립한다. 이토-타나카 기법과 스트로크 적분의 모멘트 추정을 사용하여, $ p < \beta $ 인 경우 $ L_p $-수렴 속도가 $ n^{-p\beta/\alpha} $ 순서임을 증명하며, 이는 이전 결과를 비퇴화적이며 비가우시안 레비 노이즈로까지 확장한다.

ABSTRACT

SDE driven by an $α$-stable process, $α\in \lbrack 1,2),$ with Lipshitz continuous coefficient and $β$-Hölder drift is considered. The existence and uniqueness of a strong solution is proved when $β&gt;1-α/2$ by showing that it is $L_{p}$-limit of Euler approximations. The $L_{p}$-error (rate of convergence) is obtained for a nondegenerate truncated and nontruncated driving process. The rate in the case of Lipshitz continuous coefficients is derived as well.

연구 동기 및 목표

• α-안정 레비 과정에 의해 구동되는 SDEs에 대한 강한 오일러 근사의 수렴 속도를 확립한다. 이 경우 확산 계수는 비퇴화적이며 리프시츠 연속성이고, 드리프트는 β-홀더 연속성이다.
• 기존의 수렴 결과를, $ \beta < \beta $ 이며 특히 $ \beta > 1 - \alpha/2 $ 인 경우에 대해, $ \beta $-순서 이하의 모멘트가 유한하지 않은 경우로 확장한다.
• 절단된 경우와 비절단된 경우의 레비 과정에 대해 $ L_p $-오차 한계를 유도하며, [9]에서의 절단된 경우 결과를 향상시킨다.
• 드리프트 및 확산 계수에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서, 오일러 근사의 $ L_p $-극한을 통해 강해 해의 존재성과 경로별 유일성을 증명한다.

제안 방법

• 홀더 연속성 드리프트 $ b(x) $ 를 후방 코모골로프 방정식의 해를 이용해 리프시츠 유사 대상으로 표현하기 위해 이토-타나카 기법을 적용한다.
• 쿠니타 부등식과 포아송 랜덤 측도에 대한 스트로크 적분의 모멘트 추정을 사용하여 오일러 근사 오차의 $ L_p $-노름을 제어한다.
• 레비 강하도수 $ \rho(y) $ 에 정규성 조건을 도입하며, 이는 단위 구면에서 0-동차성과 홀더 연속성을 포함하여 점프 측도에 대한 균일한 제어를 보장한다.
• 소규모 간격에서의 국소 모멘트 추정을 Lemma 11을 통해 전역적으로 $[0,1]$ 에 확장하기 위해 국소-전역 접근법을 적용한다.
• SDE의 안정성과 변화에 대한 민감도를 이용하여 진짜 해와 오일러 근사 간의 차이를 $ L_p $ 에서 유계화함으로써 수렴 속도를 도출한다.
• 비절단된 레비 과정 $ L_t $ (모든 $ p < \alpha $) 과 절단된 버전 $ L_t^0 $ (모든 모멘트 존재) 를 고려하며, 각 경우에 대해 별개의 수렴 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 α-안정 레비 과정에 의해 구동되는 SDEs에 대한 오일러 스킴의 $ L_p $-수렴 속도는 무엇인가? 이 경우 드리프트는 β-홀더 연속성이고, 확산 계수는 리프시츠 연속성이다.
• RQ2 수렴 속도는 안정성 지수 $ \alpha \in [1,2) $, 홀더 지수 $ \beta $, 그리고 모멘트 순서 $ p $ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 이토-타나카 기법은 비가우시안 레비 노이즈를 갖는 SDEs로 확장되어 강해 해의 존재성과 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ4 비절단된 레비 과정과 절단된 레비 과정 간의 수렴 속도는 어떻게 다를까? 특히 후자의 경우 $ \alpha $-모멘트가 존재하지 않는 경우에 대해 설명하라.
• RQ5 오일러 근사 오차에 대한 균일한 제어를 확보하기 위해 레비 강하도수 $ \rho(y) $ 에 필요한 정규성 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 비절단된 레비 과정 $ L_t $ 에 대해, 조건 $ \beta > 1 - \alpha/2 $ 하에서 $ p < \alpha $ 이면 오일러 근사의 $ L_p $-오차는 $ \mathbf{E}[\sup_t |X_t^n - X_t|^p] \leq C n^{-p\beta/\alpha} $ 를 만족한다.
• 절단된 레비 과정 $ L_t^0 $ 에 대해, $ 2 \leq p < 2/\beta $ 이면 수렴 속도는 $ \mathbf{E}[\sup_t |Y_t^n - Y_t|^p] \leq C n^{-p\beta/2} $ 로 향상되며, $ p \geq 2/\beta $ 이면 $ C n^{-1} $ 이다. 이는 [9]의 결과를 일치시키고 확장한다.
• 강해 해가 존재하며, $ p < \alpha $ 이면 $ L_p $-의미에서 유일하다. 이는 $ \beta > 1 - \alpha/2 $, $ G $ 가 균일하게 비퇴화적이며 리프시츠 연속이고, $ b $ 가 $ \beta $-홀더 연속일 때 성립한다.
• 오일러 근사 $ X_t^n $ 과 $ Y_t^n $ 는 $ L_p $ 에서 코시 수열이며, 그 극한은 각각 SDE (1.1) 과 (1.4) 를 만족한다.
• 수렴 속도 $ n^{-p\beta/\alpha} $ 는 점프 활동성(α에 의해 제어됨)과 드리프트의 부드러움(β에 의해 제어됨) 간의 상호작용을 반영하며, 무거운 尾(α → 1⁺)일수록 수렴 속도가 느려진다.
• 논문은 절단된 경우의 $ L_p $-오차 한계가 비절단된 경우보다 더 날카롭다는 것을 증명한다. 이는 절단된 설정에서 모든 모멘트가 존재하기 때문이다.