[논문 리뷰] On the recurrence of some random walks in random environment

Nina Gantert, Michael Kochler외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 15.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 한 차원에서의 재귀적 랜덤 워크(랜덤 환경 내, RWRE)에 대한 새로운 쿼런스 복귀 확률 추정치를 유도하여 다차원 RWRE의 재귀성을 확립한다. 특히 시나이의 워크를 포함한 한 차원 재귀적 RWRE에 대해 새로운 쿼런스 복귀 확률 추정치를 도출한다. 주요 기여는 동일한 한 차원 재귀적 환경 내에서 k개의 독립 워커가 거의 확실하게 원점에서 무한히 자주 만난다는 것을 증명하는 것이다. 이를 통해 직접 곱 모델의 응용을 통해 단순 대칭 랜덤 워크보다 더 강한 재귀성을 보여준다.

ABSTRACT

This work is motivated by the study of some two-dimensional random walks in random environment (RWRE) with transition probabilities independent of one coordinate of the walk. These are non-reversible models and can not be treated by electrical network techniques. The proof of the recurrence of such RWRE needs new estimates for quenched return probabilities of a one-dimensional recurrent RWRE. We obtained these estimates by constructing suitable valleys for the potential. They imply that k independent walkers in the same one-dimensional (recurrent) environment will meet in the origin infinitely often, for any k. We also consider direct products of one-dimensional recurrent RWRE with another RWRE or with a RW. We point out the that models involving one-dimensional recurrent RWRE are more recurrent than the corresponding models involving simple symmetric walk.

연구 동기 및 목표

• 다른 좌표에 대해 전이 확률이 독립적인 다차원 RWRE의 재귀성을 확립하기 위해.
• 일차원 재귀적 RWRE(시나이의 워크)에 대한 새로운 쿼런스 복귀 확률 추정치를 도출하기 위해, 균일 타원성과 0 평균 로그 밀도 조건 하에.
• 동일한 1D 재귀적 환경 내에서 k개의 독립 입자가 거의 확실하게 원점에서 무한히 자주 만난다는 것을 보여주기 위해.
• RWRE 기반 모델의 재귀 성질을 단순 대칭 랜덤 워크 기반 모델과 비교하기 위해.
• RWRE 기반 모델이 단순 랜덤 워크 대비 더 강한 재귀성을 보임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 잠재력 장에서 적절한 계곡을 구성하여 1D 재귀적 RWRE의 쿼런스 복귀 확률을 추정한다.
• i.i.d. 랜덤 변수 ωx ∈ (0,1)로 정의된 환경 의존 전이 확률을 사용하며, E[log ρ0] = 0 이고 Var(log ρ0) > 0 를 만족한다.
• 안정 분포의 분포 체계 결과와 국소 극한 정리를 적용하여 2D 모델의 수직 이동 과정을 분석한다.
• α < 1 인 경우 ∑n Pω(X2n = 0) · n−α = ∞ 와 α > 0 인 경우 ∑n (Pω(X2n = 0))α = ∞ 를 분석한다.
• 커플링 방법과 수직 이동 과정 Y2n 의 渐近 분석을 사용하여, 이 과정이 안정 분포로 수렴함을 보여준다.
• Nash-Williams 부등식과 연속 시간 점프 과정과의 비교를 통해 복귀 확률 행동을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k개의 독립 워커가 동일한 1D 재귀적 환경에서 거의 확실하게 원점에서 무한히 자주 만날 수 있는가?
• RQ2 주어진 조건 하에서 시나이의 워크에 대해 쿼런스 복귀 확률 Pω(X2n = 0) 는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 한 좌표에서 환경에 의존하지 않는 전이 확률을 갖는 2D RWRE의 재귀성은 단순 대칭 랜덤 워크 기반 모델보다 더 강한가?
• RQ4 쿼런스 설정에서 ∑n Pω(X2n = 0) · n−α 의 점근적 행동은 α < 1 인 경우 어떻게 되는가?
• RQ5 2D 모델에서 수직 이동 과정 Y2n 이 전체 워크 (Xn, Yn) 의 재귀성에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• P-거의 확실한 환경 ω 에 대해, 모든 0 ≤ α < 1 에 대해 ∑n Pω(X2n = 0) · n−α = ∞ 이 성립하며, 이는 강한 쿼런스 복귀 행동을 나타낸다.
• 모든 α > 0 에 대해, P-거의 확실한 ω 에 대해 ∑n (Pω(X2n = 0))α = ∞ 이 성립하며, 이는 복귀 사건의 지속성이 임계 속도에서 확인됨을 확인한다.
• 동일한 1D 재귀적 환경 내에서 k개의 독립 워커는 거의 확실하게 원점에서 무한히 자주 만난다. 여기서 k ∈ ℕ 이다.
• 1D 성분이 시나이의 워크이고 다른 성분이 재귀적 랜덤 워크인 2D 모델에서, 거의 확실한 환경 ω 에 대해 전체 워크는 재귀적이다.
• 1D 성분이 단순 대칭 랜덤 워크로 대체되면, 수직 이동 과정이 β < 2 인 β-안정 분포의 분포 체계에 속하면 2D 워크는 비재귀적이다.
• RWRE의 경우 복귀 확률의 꼬리가 더 무겁기 때문에, 2D RWRE 모델의 재귀성은 단순 대칭 랜덤 워크 기반 모델보다 엄밀히 더 강하다.