[논문 리뷰] On the Regularity of Hamiltonian Stationary Lagrangian manifolds

Jingyi Chen, Micah Warren|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{C}^n$ 내의 임의의 $C^1$ 해밀턴 정상 라그랑주 부분다양체가 반드시 실해석적임을 증명하여, 최소 부분다양체에 대한 모르레의 정리의 네제곱형 초월판을 확립한다. 저자들은 내부 추정과 좌표 회전 기법을 통해, 볼록성 및 크기 조건 하에서 $C^{1,1}$ 잠재함수와 유계 헤시안을 갖는 네제곱형 해밀턴 정상 방정식의 약한 해가 매끄럽다는 것을 보인다.

ABSTRACT

We prove a Morrey-type theorem for Hamiltonian stationary submanifolds of $\mathbb{C}^{n}$. Namely, if $L$ $\subset$ $\mathbb{C}^{n}$ is a $C^{1}$ Lagrangian submanifold with weakly harmonic Lagrangian phase $θ,$ then $L$ must be smooth. In the process we also discuss a local version of the equation, which is a nonlinear fourth order double divergence equation of the potential function whose gradient graph defines the Hamiltonian stationary submanifolds locally, and we establish full regularity and removability of singular sets of capacity zero for weak solutions with $C^{1,1}$ norm below a dimensional constant.

연구 동기 및 목표

• 잠재함수가 오직 $C^1$일 경우 $\mathbb{C}^n$ 내 해밀턴 정상 라그랑주 부분다양체의 정규성을 확립하기 위해.
• 최소 부분다양체에 대한 모르레의 고전적 결과를 해밀턴 정상 라그랑주 부분다양체의 네제곱형 설정으로 확장하기 위해.
• 헤시안에 대해 볼록성 및 크기 조건이 만족될 경우, $C^{1,1}$ 잠재함수를 갖는 해밀턴 정상 방정식의 약한 해가 매끄럽다는 것을 증명하기 위해.
• 약한 해에 대한 네제곱형 방정식의 용량이 0인 특이집합의 제거 가능성을 보여주기 위해.
• 라그랑주 위상함수 $\theta$가 약한 조화함수일 경우, 적절한 기하적 제약 조건 하에서 전체 정규성이 성립함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 해밀턴 변형 하에서 체적 함수기반의 해밀턴 정상 라그랑주 부분다양체의 변분 형식을 사용하기 위해.
• 지역적으로 해밀턴 정상 부분다양체를 해밀턴 정상 방정식의 오일러-라그랑주 방정식으로부터 유도된 네제곱형 비선형 타원형 방정식을 만족하는 함수 $u$의 기울기 그래프로 특성화하기 위해.
• 기하학적 형식에서 라그랑주 위상함수 $\theta = \operatorname{Im} \log \det(I + iD^2u)$ 가 그래프 위에서 $\Delta_g \theta = 0$ 를 만족하며, 이는 그래프 위의 두차수 방정식임을 이용하기 위해.
• 헤시안을 균일하게 볼록한 형태로 변형하기 위해 좌표 회전 기법을 적용하여, 두차수 타원형 이론의 적용을 가능하게 하기 위해.
• 이중리프시츠 좌표 변화를 통해, 변환된 좌표계에서의 내부 추정을 원래 좌표계로 이 trasfer하여 정규성을 유지하기 위해.
• $\theta$ 가 $D^2u$ 에 대해 홀함수임을 활용하여 문제를 $-u$ 분석으로 단순화하고, 이는 회전 후 균일하게 볼록해지므로 기존의 정규성 결과 적용이 가능해짐을 이용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 부분다양체에 대한 모르레 유형의 정규성 결과를 해밀턴 정상 라그랑주 부분다양체의 네제곱형 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 잠재함수 $u$ 의 헤시안에 대해 어떤 조건이면 해밀턴 정상 방정식의 약한 해가 매끄러워지는가?
• RQ3 용량이 0인 특이집합은 약한 해에 대해 네제곱형 해밀턴 정상 방정식에서 제거 가능한가?
• RQ4 라그랑주 위상함수 $\theta$ 의 정규성은 잠재함수 $u$ 의 정규성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 해밀턴 변형에 대해 임의의 $C^1$ 라그랑주 부분다양체가 임계일 경우, 어떤 기하학적 및 해석적 조건이 실해석적임을 보장하는가?

주요 결과

• 모든 $C^1$ 해밀턴 정상 라그랑주 부분다양체는 $\mathbb{C}^n$ 내에서 실해석적이며, 이는 모르레의 정리의 네제곱형 초월판을 확립한다.
• 헤시안에 대해 볼록성 조건을 만족하고 $\|u\|_{C^{1,1}} \leq c(n)$ 이면, $C^{1,1}$ 잠재함수를 갖는 해밀턴 정상 방정식의 약한 해는 매끄럽다.
• 헤시안이 유계이면서 위상함수가 약한 조화함수일 경우, 잠재함수 $u$ 에 대해 모든 $k$ 에 대해 내부 $C^{k,\alpha}$ 추정을 확보할 수 있다.
• 해밀턴 정상 방정식의 약한 해의 특이집합은 용량이 0이며 제거 가능하며, 이는 해가 그 위를 매끄럽게 연장됨을 의미한다.
• 적절한 좌표 회전을 거친 후, 잠재함수는 균일하게 볼록해지며, 이는 두차수 타원형 이론을 적용하여 전체 정규성을 도출할 수 있음을 보여준다.
• 헤시안이 단지 연속이거나 약간의 불연속성을 갖더라도, $\|u\|_{C^{1,1}} \leq c(n)$ 이고 $c(n)$ 이 차원에 따라 충분히 작을 경우 결과는 여전히 성립한다.