[논문 리뷰] On the regularity of weak solutions to Burgers equation with finite entropy production

Xavier Lamy, Félix Otto|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 25.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 32인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한한 엔트로피 생산을 갖는 버거스 방정식의 약한 해가, 어떤 α>0에 대해 (1+α)-차원 상부 밀도가 유한한 엔트로피 생산 측도를 갖는 점들에서 허더 연속성을 보임을 증명한다. 비레베그 점들의 집합의 하우스도르프 차원이 최대 1임을 증명함으로써, 엔트로피 해가 아닌 해에 대한 핵심적인 정칙성 문제를 해결하였으며, 국소적 정칙성과 엔트로피 생산 측도의 기하학적 구조 사이의 연결 고리를 설정한다.

ABSTRACT

Bounded weak solutions of Burgers' equation $\\partial_tu+\\partial_x(u^2/2)=0$ that are not entropy solutions need in general not be $BV$. Nevertheless it is known that solutions with finite entropy productions have a $BV$-like structure: a rectifiable jump set of dimension one can be identified, outside which $u$ has vanishing mean oscillation at all points. But it is not known whether all points outside this jump set are Lebesgue points, as they would be for $BV$ solutions. In the present article we show that the set of non-Lebesgue points of $u$ has Hausdorff dimension at most one. In contrast with the aforementioned structure result, we need only one particular entropy production to be a finite Radon measure, namely $\\mu=\\partial_t (u^2/2)+\\partial_x(u^3/3)$. We prove H\\"older regularity at points where $\\mu$ has finite $(1+\\alpha)$-dimensional upper density for some $\\alpha>0$. The proof is inspired by a result of De Lellis, Westdickenberg and the second author : if $\\mu_+$ has vanishing 1-dimensional upper density, then $u$ is an entropy solution. We obtain a quantitative version of this statement: if $\\mu_+$ is small then $u$ is close in $L^1$ to an entropy solution.

연구 동기 및 목표

• 유한한 엔트로피 생산을 갖는 엔트로피 해가 아닌 유계 약한 해의 정칙성을 조사하는 것.
• 점프 집합 외부의 모든 점이 BV 해와 마찬가지로 레베그 점인지 여부를 판단하는 것.
• 비레베그 점들의 집합의 크기를 하우스도르프 차원으로 특성화하는 것.
• 작은 엔트로피 생산과 L¹에서 엔트로피 해에의 근접도 사이의 정량적 연결 고리를 설정하는 것.
• 이차 엔트로피 생산 측도를 통한 해의 미세 구조 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 저자들은 엔트로피 생산 측도 μ = ∂ₜ(u²/2) + ∂ₓ(u³/3)를 분석하며, 그 (1+α)-차원 상부 밀도에 초점을 맞춘다.
• 데 렐리스, 웨스트디켄베르그, 오토의 결과를 정량화한 버전을 사용한다: 만약 μ₊의 1차원 상부 밀도가 0이면, u는 엔트로피 해이다.
• 증명은 확대(블로우업) 방법과 관련된 하밀토니안-자코비 방정식의 점성 해를 구성하는 데 기반한다.
• 핵심 단계는, μ의 (1+α)-차원 상부 밀도가 유한한 점들에서 해 u가 허더 연속임을 보이는 것이다.
• 시간 정칙성은 u의 유계성과 함께 공간과 시간에 대한 평균화를 통해 방정식으로부터 유도된다.
• 증명은 호프-렉스 공식과 점성 해의 리프시츠 추정을 사용하여 u의 공간적·시간적 변동성을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 엔트로피 생산을 갖는 약한 해의 점프 집합 외부에 있는 모든 점이 그 해의 레베그 점인가?
• RQ2 이러한 해들에 대해 비레베그 점들의 집합의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ3 어떤 α>0에 대해 엔트로피 생산 측도의 (1+α)-차원 상부 밀도가 유한한 점들에서 허더 연속성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 엔트로피 생산 측도의 크기가 L¹에서 엔트로피 해에의 거리 제어에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이차 엔트로피 생산 μ = ∂ₜ(u²/2) + ∂ₓ(u³/3)는 약한 해의 미세 구조를 어느 정도 결정하는가?

주요 결과

• u의 비레베그 점들의 집합은 하우스도르프 차원이 최대 1이다.
• 어떤 α>0에 대해 엔트로피 생산 측도 μ의 (1+α)-차원 상부 밀도가 유한한 점들에서 해 u는 허더 연속이다.
• 이러한 점들에서 해 u는 지수 α/(α+256)로 허더 연속이다.
• 정량적 결과가 확립되었다: 만약 μ₊의 (1+α)-차원 상부 밀도가 작다면, u는 L¹에서 엔트로피 해에 가까워진다.
• 논문은 엔트로피 생산 측도 μ가 전체 BV 구조가 없더라도 u의 정칙성을 제어하는 데 충분함을 확인한다.
• 분석 결과, 특이 집합 J는 직선화 가능하며, u는 J 위에서 한쪽 방향의 추적을 갖는다. 이는 BV 유사 행동과 일치한다.