[논문 리뷰] On the regularized Siegel-Weil formula (the second term identity) and non-vanishing of theta lifts from orthogonal groups

Wee Teck Gan, Shuichiro Takeda|ArXiv.org|2009. 02. 03.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 짝수 정규직교군에 대해 제2항 범위($r+1 \leq m \leq 2r$)에서 정규화된 시겔-바일 공식에 대한 약한 제2항 항등식을 수립하여 라allis 내적 공식을 가능하게 한다. $\mathrm{O}(V)$ 위의 귀납형 자동형 표현 $\pi$의 전역 스칼라 테타 승수 $\mathrm{Sp}_{2r}$로의 전이가 $L^S(s,\pi)$가 $s = 1 + \frac{2r - m}{2}$에서 영이 아닐 경우에만 영이 아님을 증명한다. 이는 어떤 곳에서 자가 dual 조건을 만족할 때 성립한다.

ABSTRACT

We derive a (weak) second term identity for the regularized Siegel-Weil formula for the even orthogonal group, which is used to obtain a Rallis inner product formula in the "second term range". As an application, we show the following non-vanishing result of global theta lifts from orthogonal groups. Let $π$ be a cuspidal automorphic representation of an orthogonal group $O(V)$ with $\dim V=m$ even and $r+1\leq m\leq 2r$. Assume further that there is a place $v$ such that $π_v\congπ_v\otimes\det$. Then the global theta lift of $π$ to $Sp_{2r}$ does not vanish up to twisting by automorphic determinant characters if the (incomplete) standard $L$-function $L^S(s,π)$ does not vanish at $s=1+\frac{2r-m}{2}$. Note that we impose no further condition on $V$ or $π$. We also show analogous non-vanishing results when $m > 2r$ (the "first term range") in terms of poles of $L^S(s,π)$ and consider the "lowest occurrence" conjecture of the theta lift from the orthogonal group.

연구 동기 및 목표

• 정규직교군에 대해 제2항 범위($r+1 \leq m \leq 2r$)에서 정규화된 시겔-바일 공식에 대한 약한 제2항 항등식을 수립하는 것.
• 제2항 항등식을 이용해 이 범위에서 Rallis 내적 공식을 유도하는 것.
• 자기 dual 조건과 $L$-함수의 영이 아님 조건 하에서 정규직교군에서 심플렉틱 군으로의 전역 테타 승수의 비영을 증명하는 것.
• 정규직교군에서의 테타 승수에 대한 '가장 낮은 발생' 추측을 조사하는 것.

제안 방법

• 정규화된 테타 적분의 제1차 잔여 $B_{-1}^{(m,r)}(\varphi)$와 시겔 아이젠스타인 급수의 상수항 $A_0^{(m,r)}(\varphi)$ 사이의 약한 제2항 항등식을 유도한다.
• 비판적 점 $s = \rho_r' = \frac{r+1}{2}$와 $s = \rho_{m,r} = \frac{2r - m + 1}{2}$에서 각각 정규화된 테타 적분 $\mathcal{E}^{(m,r)}(g,s;\varphi)$와 아이젠스타인 급수 $E^{(m,m)}(g,s;\Phi_\varphi)$의 로렌트 전개를 사용한다.
• 내적 공식을 적용하여 테타 승수의 자동형 내적을 $L$-함수와 국소 제타 적분의 특수값과 연결한다.
• 구형 벡터 $\varphi^0$의 $\mathrm{O}(\mathcal{V},\mathbb{A})$-스팬 안에 있는 슈바르츠 함수 $\varphi$에 국한하여, 제2항 항등식이 약한 형태로 성립하도록 보장한다.
• 테타 승수의 내적의 비영을 이용해 비판적 점에서 $L$-함수의 비영을 유도한다.
• 제2항 항등식의 추측적 확장을 활용하여 $L$-함수의 극과 영점에 기반한 테타 승수의 가장 낮은 발생에 대한 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규직교군에 대해 제2항 범위($r+1 \leq m \leq 2r$)에서 정규화된 시겔-바일 공식에 제2항 항등식이 존재하는가?
• RQ2 해당 항등식을 사용하여 Rallis 내적 공식을 이 범위로 확장할 수 있는가?
• RQ3 정규직교군 $\mathrm{O}(V)$ 위의 귀납형 자동형 표현 $\pi$의 전역 테타 승수 $\mathrm{Sp}_{2r}$로의 전이가 언제 비영이 되는가?
• RQ4 표준 $L$-함수 $L^S(s,\pi)$의 극과 영점은 테타 승수의 가장 낮은 발생과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 약한 제2항 항등식을 모든 슈바르츠 함수로 확장하여 비영 결과를 강화할 수 있는가?

주요 결과

• 구형 벡터의 $\mathrm{O}(\mathcal{V},\mathbb{A})$-스팬 안에 있는 $\varphi$에 대해, 정규화된 테타 적분의 제1차 잔여 $B_{-1}^{(m,r)}(\varphi)$와 아이젠스타인 급수의 상수항 $A_0^{(m,r)}(\varphi)$ 사이의 약한 제2항 항등식이 수립된다.
• 어느 곳에서든 $\pi_v \cong \pi_v \otimes \det$를 만족할 경우, $L^S(s,\pi)$가 $s = 1 + \frac{2r - m}{2}$에서 영이 아닐 조건 하에 $\pi$의 $\mathrm{Sp}_{2r}$로의 전역 테타 승수가 비영임을 증명한다.
• 모든 $m > 2r$의 경우, $L^S(s,\pi)$의 극에 기반한 유사한 비영 결과를 얻었으며, 이는 제1항 범위 분석을 확장한다.
• 테타 승수의 가장 낮은 발생 $\mathrm{LO}_\psi(\pi)$에 대한 경계를 도출: 극 조건 하에 $\frac{m}{2} - \operatorname{Pole}(\pi) \leq \mathrm{LO}_\psi(\pi) \leq \frac{m}{2} - \operatorname{Pole}^S(\pi)$.
• 영 조건과 자기 dual 조건 하에, 강력한 제2항 항등식 추측을 가정할 경우, 짝수 $m$에 대해 $\frac{m}{2} - 1 + \operatorname{Zero}(\pi) \leq \mathrm{LO}_\psi(\pi) \leq \frac{m}{2} - 1 + \operatorname{Zero}^S(\pi)$의 경계를 확립한다.
• 증명은 내적 공식과 테타 승수의 내적의 비영에 기반하며, 이는 비판적 점 $s = \rho_{m,r}$에서 $L$-함수의 비영을 암시한다.