[논문 리뷰] On the relation between integrability and infinite-dimensional algebras

Michael Freeman, P. West|ArXiv.org|1993. 03. 19.

Mathematical and Computational Methods참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 통합 가능한 시스템과 무한차원 대수 사이의 깊은 연관성을 조사하며, 특정 중심적 전하 c = 13 − 6n − 6/n (n > 1)에서 U(1) 카크-무디 대수의 교환 가능한 전하들이 예외적인 W-대수를 생성함을 보여주며, 이는 리iouville 이론에서 대칭성을 이룹니다. 또한 비선형 슈뢰딩거 방정식과 KP 계열 간의 연결 고리를 W∞ 대수를 통해 확립하여, 통합 가능성은 근본적으로 무한차원 대수적 구조에 기반한다는 추측을 뒷받침합니다.

ABSTRACT

We review our work on the relation between integrability and infinite-dimensional algebras. We first consider the question of what sets of commuting charges can be constructed from the current of a \mbox{\sf U}(1) Kac-Moody algebra. It emerges that there exists a set $S_n$ of such charges for each positive integer $n>1$; the corresponding value of the central charge in the Feigin-Fuchs realization of the stress tensor is $c=13-6n-6/n$. The charges in each series can be written in terms of the generators of an exceptional \W-algebra. We show that the \W-algebras that arise in this way are symmetries of Liouville theory for special values of the coupling. We then exhibit a relationship between the ls equation and the KP hierarchy. From this it follows that there is a relationship between the ls equation and the algebra \Wi. These examples provide evidence for our conjecture that the phenomenon of integrability is intimately linked with properties of infinite dimensional algebras.

연구 동기 및 목표

• 통합 가능한 시스템과 무한차원 대수, 특히 W-대수 사이의 구조적 관계를 탐구하기.
• U(1) 카크-무디 전류 대수에서 생성할 수 있는 교환 가능한 전하의 집합을 특정하기.
• 이러한 전하들이 예외적인 W-대수로 닫히는 조건과 기존의 통합 가능한 모델과의 관계를 규명하기.
• 비선형 슈뢰딩거 방정식과 KP 계열의 맥락에서 W∞ 대수가 어떻게 나타나는지 조사하기.
• 통합 가능성은 근본적으로 무한차원 대수적 대칭성과 연결되어 있다는 추측에 대한 증거를 제공하기.

제안 방법

• 피긴-후크스 표현을 사용하여 스트레스 텐서를 구현함으로써 U(1) 카크-무디 전류 대수에서 교환 가능한 전하를 구성하기.
• 정수 n > 1로 매개변수화된 각 S_n 시리즈에 대해 중심 전하 c = 13 − 6n − 6/n를 계산하기.
• 대수적 실현 기법을 통해 전하들을 예외적인 W-대수의 생성자로 표현하기.
• 특정 결합 상수에서 이러한 W-대수가 나타나는 리iouville 장 이론의 대칭성 구조 분석하기.
• W∞ 대수를 통해 비선형 슈뢰딩거 방정식과 KP 계열 간의 대응 관계 수립하기.
• KP 계열의 라크스 연산자 형식을 사용하여 그 해법들이 W∞의 대수적 구조와 연결됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 교환 가능한 전하 집합이 U(1) 카크-무디 전류 대수에서 구성될 수 있으며, 이는 어떤 대수적 구조로 닫히는가?
• RQ2 U(1) 카크-무디 전류로부터 유도된 W-대수가 리iouville 장 이론에서 대칭성을 이룰 수 있는 중심 전하 c의 값은 무엇인가?
• RQ3 비선형 슈뢰딩거 방정식은 어떤 방식으로 무한차원 대수를 통해 KP 계열과 연결되는가?
• RQ4 W∞ 대수는 비선형 슈뢰딩거 방정식과 KP 계열과 같은 통합 가능한 방정식들을 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 통합 가능성은 얼마나 깊이 무한차원 대수적 대칭성의 결과로 이해될 수 있는가?

주요 결과

• 각 정수 n > 1에 대해 U(1) 카크-무디 전류 대수에서 유도된 교환 가능한 전하 집합 S_n 가 존재한다.
• 이 전하들의 피긴-후크스 표현에서 스트레스 텐서의 중심 전하는 c = 13 − 6n − 6/n 이다.
• 각 S_n 시리즈의 전하는 예외적인 W-대수의 생성자로 닫힌다.
• 이러한 W-대수들은 n에 의해 결정되는 특정 결합 상수에서 리iouville 장 이론의 대칭성을 이룬다.
• 비선형 슈뢰딩거 방정식과 KP 계열 간의 직접적인 대수적 관계가 W∞ 대수를 통해 확립된다.
• 결과는 통합 가능한 비선형 시스템에서의 통합 가능성은 근본적으로 무한차원 대수적 구조와 깊이 연결되어 있다는 추측을 뒷받침한다.