[논문 리뷰] On the relation between multifield and multidimensional integrable equations

V. É. Adler|ArXiv.org|2000. 11. 21.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다중장 통합 방정식(예: 벡터 NLS, Ablowitz-Ladik 격자)과 KP 및 mKP 방정식과 같은 다차원 통합 체계 사이의 새로운 제약 조건을 수립한다. 다중장 계층의 대칭성을 활용하여, 이러한 체계가 호환성 있는 장-고유함수 제약 조건 하에서 라플라스 쌍을 이룬다는 것을 보여주며, 이로 인해 2D Toda, 드레싱 체인, 분산 긴 파동 방정식과의 새로운 감소 및 연결 관계가 유도된다.

ABSTRACT

The new examples are found of the constraints which link the 1+2-dimensional and multifield integrable equations and lattices. The vector and matrix generalizations of the Nonlinear Schrödinger equation and the Ablowitz-Ladik lattice are considered among the other multifield models. It is demonstrated that using of the symmetries belonging to the hierarchies of these equations leads, in particular, to the KP equation and twodimensional analogs of the dressing chain, Toda lattice and dispersive long waves equations. In these examples the multifield equation and its symmetry have meaning of the Lax pair for the corresponding twodimensional equation under some compatible constraint between field variables and eigenfunctions.

연구 동기 및 목표

• KP 및 mKP와 같은 1+2차원 통합 체계와 다중장 통합 방정식을 연결하는 새로운 제약 조건을 규명하는 것.
• 다중장 모델의 대칭성이 호환성 있는 장-고유함수 관계를 통해 고차원 통합 방정식을 어떻게 생성하는지 탐구하는 것.
• 차분-차분 방정식(격자)인 Ablowitz-Ladik 및 Toda 유형 체계를 포함하여 이 접근법을 확장하는 것.
• 특정 제약 조건 하에서 벡터 및 행렬 일반화된 NLS 및 관련 모델이 2차원 방정식의 라플라스 쌍이 되는 것을 보여주는 것.
• 비대칭 및 대칭적 이산화된 다중장 체계의 통합 가능성과 기존 계층과의 연결 고리를 조사하는 것.

제안 방법

• 다중장 변수(ψ, φ)와 고유함수 사이의 제약 조건을 유도하여 1+2차원 방정식을 1+1차원 계층으로 감소시키는 것.
• 벡터 NLS 및 Ablowitz-Ladik 격자에 대한 제3 및 제5차 대칭을 사용하여 KP 및 mKP 유형 방정식을 생성하는 것.
• Müira 유형 변환을 적용하여 격자 변수(f, p)를 비선형 감소를 통해 mKP 및 KP 방정식과 연결하는 것.
• 보조 선형 문제의 호환성 조건을 활용하여 고차 대칭을 유도하고 감소된 체계의 통합 가능성 확인하는 것.
• 내적의 유리 함수(예: ⟨ψ,φ⟩+1)를 포함하는 새로운 제약 조건을 도입하여 Toda 및 분산 긴 파동(DLW) 방정식을 생성하는 것.
• 조르당 대수 및 왼쪽 대칭 대수 구조를 활용하여 KdV 및 버거스 유형 방정식을 일반화하고 Cole-Hopf 유형 선형화를 통해 통합 가능성 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 다중장 통합 방정식이 대칭 유도 제약 조건을 통해 KP나 mKP와 같은 1+2차원 통합 체계를 유도하는가?
• RQ2 벡터 NLS 및 Ablowitz-Ladik 격자에 대한 대칭이 특정 장 제약 조건 하에서 어떤 방식으로 KP나 Toda 격자와 같은 2차원 방정식을 생성하는가?
• RQ3 Bäcklund 변환에 기반한 다중장 체계에서 유도된 차분-차분 방정식(격자)이 기존의 2차원 통합 계층을 재현할 수 있는가?
• RQ4 내적을 포함하는 유리 함수 제약(예: ⟨ψ,φ⟩+1)이 다중장 모델에서 Toda 및 DLW 방정식을 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 조르당 또는 왼쪽 대칭 대수에서 유도된 비표준 비선형성을 가진 다중장 체계에서 KP 및 mKP 방정식의 새로운 통합 감소가 존재하는가?

주요 결과

• 제3차 대칭을 가진 벡터 NLS 체계는 u = -2⟨ψ,φ⟩ 및 q = 2⟨ψ,φₓ⟩ - 2⟨ψₓ,φ⟩ 제약 조건 하에서 KP 방정식을 유도하며, 이는 임의의 N에 대해 유효하다.
• ⟨ψ,φ⟩+1을 포함하는 두 번째 호환성 제약 조건은 표준 라플라스 쌍 형태와는 다름을 보이는 KP 방정식의 대안적 표현을 제공한다.
• Ablowitz-Ladik 격자는 Müira 유형 변환을 통해 f = -⟨ψ,φ₁⟩ - β 및 p = ⟨ψ,φ₁ₓ⟩ - ⟨ψₓ,φ₁⟩ + ⟨ψ,φ₁⟩² - β² 변수를 통해 mKP 방정식으로 이어진다.
• 벡터 NLS의 비대칭적 이산화(인덱스 j 및 -j의 격자 합산으로부터 유도)는 v = ⟨ψ,φ⟩+1 및 u = -⟨ψ,φ₁⟩ 제약 조건 하에서 Toda 격자를 재현한다.
• 분산 긴 파동(DLW) 계층은 다중장 체계의 대칭으로부터 도출되며, uₜ = u_zz - 2v_z + 2pu_z 및 v_η = -(v_z - 2pv)_z, p_x = u_z로 표현된다.
• 조르당 대수 구조(D_N)에서의 KdV 유형 방정식은 v = 6u 및 q = 6u_xx + 18u² - 18⟨ψ,ψ⟩를 통해 2차원 Sawada-Kotera 유형 방정식을 생성하며, 고차 대칭을 통한 통합 가능성 확인된다.