[논문 리뷰] On the relations between correlation functions in SYM/pp-wave correspondence

É. T. Akhmedov|ArXiv.org|2002. 12. 25.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이중 스케일링 근사에서 $S^3 \times \mathbb{R}$ 위의 평면 ${\cal N}=4$ SYM 이론의 상관 함수와 pp-파동 배경에서의 유string 이론의 산란 진폭 사이에 직접적인 대응 관계를 수립한다. 이는 두 점 및 세 점 상관 함수에 대해 명시적인 관계를 유도하고, 공간-시간 의존성과 구조 상수를 일치시키며, 이론이 4차원 SYM 이론에 이중적이며 매트릭스 양자역학이 아니라고 주장함으로써, 두 이론 간의 매개변수에 대한 사전을 제공한다.

ABSTRACT

In this note we establish the explicit relation between correlation functions in ${\cal N} = 4$ SUSY Yang--Mills theory on $S^3 imes R$ in a double scaling limit and scattering amplitudes of the String Theory on the pp-wave background. The relation is found for two-- and three--point correlation functions in these theories. As a by product we formulate a dictionary for the correspondence between these theories: in particular, we find some unknown relations between the parameters in these theories. Furthermore, we argue that the String Theory on the pp--wave background is related to four--dimensional SUSY Yang--Mills theory rather than to the reduced matrix quantum mechanics. We identify string theory excitations which are related to the Kaluza--Klein excitation of the Yang--Mills theory on $S^3$.

연구 동기 및 목표

• 평면 ${\cal N}=4$ SYM 이론에서 $S^3 \times \mathbb{R}$ 위의 상관 함수와 pp-파동 배경에서의 이론의 산란 진폭 사이에 구체적이고 명시적인 관계를 수립하는 것.
• pp-파동 대응이 4차원 SYM 이론인지 또는 축소된 매트릭스 양자역학인지에 대한 애매함을 해결하는 것.
• 두 이론 간의 매개변수, 특히 결합 상수와 등각 차원 간의 알려지지 않은 관계를 포함한 사전을 유도하는 것.
• SUSY 보호 연산자가 아닌 경우에도 대응 관계가 성립함을 보이며, 세 점 상관 함수에서의 해석적 구조와 시간 의존성의 일치를 통해 이를 입증하는 것.

제안 방법

• 이중 스케일링 근사에서 $S^3 \times \mathbb{R}$ 위의 평면 ${\cal N}=4$ SYM 이론에서 R-전하가 큰 연산자를 중심으로 두 점 및 세 점 상관 함수를 유도한다.
• SYM 이론의 시간 순서 상관 함수를 pp-파동 배경에서의 이론 진폭과 비교하며, 주로 푸리에 변환을 통해 공간-시간 의존성을 분석한다.
• BMN 근사를 사용하여 SYM 연산자를 이론 상태로 매핑하고, $S^3$ 위의 칼루차-클라인 모드를 pp-파동 배경에서의 이론 진동수와 일치시킨다.
• SYM 이론의 연산자 곱 전개의 구조 상수 $C_{J_1 J_2 J_3}$ 를 이론 진폭의 것과 비교하여, 운동량 공간에서 델타 함수 형태로 일치함을 보인다.
• 시간 순서 상관 함수를 분석하고, 그 지수적 시간 의존성이 이론 진폭의 구조와 일치함을 보이며, 위상이 $\mu \tilde{\Delta}_i t_i$ 에 비례함을 보인다.
• 푸리에 변환 후 세 점 상관 함수가 $\delta_{J_1,J_2+J_3} \delta_{\Delta_1,\Delta_2+\Delta_3} C_{J_1 J_2 J_3} \delta(p_1 - \tilde{\Delta}_1) \delta(p_2 - \tilde{\Delta}_2) \delta(p_3 - \tilde{\Delta}_3)$ 의 형태로 나타나며, 이는 이론 결과와 정확히 일치함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 ${\cal N}=4$ SYM 이론에서 $S^3 \times \mathbb{R}$ 위의 상관 함수는 pp-파동 배경에서의 이론 산란 진폭과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 pp-파동 대응은 4차원 SYM 이론과의 이중성인지, 아니면 축소된 매트릭스 양자역학과의 이중성인지?
• RQ3 두 이론 간의 매개변수, 예를 들어 결합 상수, R-전하, 등각 차원 등의 정확한 사전은 무엇인가?
• RQ4 비-SUSY 연산자, 특히 세 점 상관 함수에 대해서도 대응 관계가 성립하는가?
• RQ5 두 이론 간의 시간 순서적 구조와 운동량 보존 조건은 어떻게 일치하는가?

주요 결과

• 푸리에 변환 후 SYM 이론의 세 점 상관 함수는 이론 진폭의 구조와 일치한다: $\delta_{J_1,J_2+J_3} \delta_{\Delta_1,\Delta_2+\Delta_3} C_{J_1 J_2 J_3} \delta(p_1 - \tilde{\Delta}_1) \delta(p_2 - \tilde{\Delta}_2) \delta(p_3 - \tilde{\Delta}_3)$.
• SYM 이론 상관 함수의 시간 의존성은 $e^{-i\mu \tilde{\Delta}_1 t_1} e^{i\mu \tilde{\Delta}_2 t_2} e^{i\mu \tilde{\Delta}_3 t_3}$ 로 표현되며, 이는 이론 진폭의 위상 구조와 정확히 일치한다.
• SYM 이론의 구조 상수 $C_{J_1 J_2 J_3}$ 는 이론 진폭과 일치하며, [19]의 결과와의 비교를 통해 세 점 상관 함수에서 완전한 일치가 확인되었다.
• 칼루차-클라인 모드가 $S^3$ 위에 존재하는 것과 이론 진동수의 일치를 바탕으로, pp-파동 이론이 4차원 ${\cal N}=4$ SYM 이론과 이중적임을 입증하였다. 이는 매트릭스 양자역학과의 이중성이 아니라는 것을 의미한다.
• 대응 관계는 SUSY 보호 연산자에 국한되지 않으며, 비-SUSY 연산자에 대해서도 SYM 이론의 상관 함수의 해석적 구조가 이론 진폭과 일치함을 보여, 이론이 성립함을 입증하였다.
• 결합 상수, R-전하, 등각 차원 등의 매개변수 간의 사전이 수립되었으며, 이 중 $\tilde{\Delta} = \Delta - J$ 의 관계가 확인되었는데, 여기서 $\tilde{\Delta}$ 는 이론에서의 등각 차수이고 $\Delta$ 는 SYM 이론에서의 등각 차수이다.