[논문 리뷰] On the relativistic theory of force-free particles with any spin

Markus Fierz, Guglielmo Pasa|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 30.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 6

한 줄 요약

이 1939년 논문은 임의의 정수 또는 양반정수 스핀을 가진 힘 없는 입자를 위한 상대론적 양자장 이론을 수립하며, 스핀이 통계에 영향을 준다는 것을 보여준다: 정수 스핀은 보즈-아인슈타인 통계를 따르고, 반정수 스핀은 페르미-디랙 통계를 따른다. 이 논문은 임의의 스핀에 대해 장 방정식, 에너지-운동량 텐서, 전류 벡터를 유도하며, 전하 밀도와 에너지 밀도가 게이지 불변성과 양의 정의를 갖는 것은 스핀 0, 1/2, 1일 때에만 가능하다는 것을 증명한다. 더 높은 스핀에서는 국소 밀도가 아닌 총 전하와 총 에너지만 잘 정의된다는 것을 밝힌다.

ABSTRACT

In the free case, it is possible to define quantum fields which describe particles with integer or half-integer spin larger than one. It is shown that particles with integer spin must have Bose statistic and particles with half-integer-spin must follow Fermi-Dirac statistic. In the free case, the fields with spin smaller or equal to one are already well defined, so that for them alone, the charge and energy density are clearly identified and gauge invariant; while for the higher spin this is the case only for the total charge and total energy.

연구 동기 및 목표

• 외부 힘 없이 고정된 정수 또는 양반정수 스핀을 가진 입자에 대해 상대론적 양자장 이론을 수립하는 것.
• 상대론적 불변성의 프레임워크 안에서 스핀과 양자 통계(보즈 또는 페르미-디랙) 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 에너지 밀도와 전하 밀도가 게이지 불변성과 양의 정의를 갖는 조건을 규명하는 것.
• 디랙의 이전 수식의 모호함을 제거하기 위해 임의의 스핀에 대해 일관된 장 방정식과 교환관계를 유도하는 것.
• 스핀 > 1인 경우에 국소 밀도가 아니라 총 에너지와 총 전하만 잘 정의된다는 것을 보여주는 것. 이는 장 성분 간의 비교환성 때문이기 때문이다.

제안 방법

• 스핀 f가 정수인지 반정수인지에 따라 텐서 또는 스피너 기법을 사용하여 임의의 스핀을 가진 입자에 대한 상대론적 장 방정식을 수립한다.
• 장 방정식에서 에너지-운동량 텐서와 전류 벡터를 유도하며, 로렌츠 공변성과 게이지 불변성을 확보한다.
• 에너지의 양의 정의와 장 교환관계의 상대론적 불변성 조건을 적용하여 각 스핀에 대응하는 통계(보즈 또는 페르미-디랙)를 고정한다.
• 평면파 해를 사용하여 독립적인 편광 상태의 수와 그들이 회전에 대해 어떻게 변하는지 분석한다.
• 조르당-폴리 양자화를 적용하여 장 연산자의 교환관계를 유도하며, 스핀 3/2와 스핀 2에 대해 명시적인 형태를 제공한다.
• 편광 상태를 표시하기 위해 인덱스 α와 β를 사용하는 스피너 장의 특수 표현을 도입하고, 로렌츠 보정에 따른 변환 성질을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힘 없는 경우에 대해 임의의 스핀을 가진 입자에 대해 일관된 상대론적 양자장 이론을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 왜 정수 스핀 입자는 보즈-아인슈타인 통계를 따르고, 반정수 스핀 입자는 페르미-디랙 통계를 따르는가? 이는 상대론적 불변성과 에너지의 양의 정의에 기반한다.
• RQ3 임의의 스핀을 가진 장에 대해 전하 밀도와 에너지 밀도가 게이지 불변성과 양의 정의를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ4 왜 고스핀 장(f > 1)은 잘 정의된 국소 전하 밀도와 에너지 밀도를 갖지 못하며, 어떤 양은 여전히 잘 정의된 상태인가?
• RQ5 스핀 3/2와 스핀 2의 장 방정식과 교환관계는 낮은 스핀의 경우와 어떻게 비교되며, 그 물리적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 스핀 f에 대해, 로렌츠 공변성과 교환관계의 상대론적 불변성 조건을 만족시키는 유일한 상대론적 장 방정식이 존재한다.
• 에너지의 양의 정의와 장 교환관계의 상대론적 불변성 조건에 기반해, 정수 스핀 입자는 반드시 보즈-아인슈타인 통계를 따르고, 반정수 스핀 입자는 반드시 페르미-디랙 통계를 따라야 한다.
• 스핀 0, 1/2, 1인 경우에만 전하 밀도와 에너지 밀도가 게이지 불변성과 양의 정의를 갖는다. 스핀 > 1인 경우에는 총 전하와 총 에너지만 잘 정의된다.
• 스핀 > 1인 c-수 이론에서, 서로 다른 공간적 위치에서의 전하 밀도는 서로 교환되지 않으며, 그 교환관계는 D-함수의 도함수를 포함한다.
• 스핀 3/2의 경우, 장 방정식은 두 개의 결합된 방정식으로 스피너 형태로 표현되며, 교환관계는 운동량과 델타 함수를 포함한다.
• 스핀 2의 경우, 장 성분 간의 교환관계는 계량과 D-함수를 포함하는 대칭 텐서 표현식으로 주어지며, 그 정규화는 트레이스가 5D(x)가 되도록 선택되어, 2f+1=5개의 편광 상태와 일치한다.