[논문 리뷰] On the relaxation of unbounded multiple integrals

Omar Anza Hafsa, Jean Philippe Mandallena|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 11.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비볼록이지만 유효 도메인이 볼록이고 무한대를 취할 수 있는 경우에 대해, 벡터류 변분법에서 비유계 다중 적분의 이완 기능의 적분 표현을 수립한다. 소볼레프 공간에서 측도 이론적 국소화 및 근사 기법을 사용하여, 표준적인 매끄러운 함수에 의한 근사가 없이도 이완 기능이 쿼asi볼록화를 통해 적분 표현을 가짐을 증명한다.

ABSTRACT

We study the relaxation of multiple integrals of the calculus of variations, where the integrands are nonconvex with convex effective domain and can take the value \infty. We use local techniques based on measure arguments to prove integral representation in Sobolev spaces of functions which are almost everywhere differentiable. Applications are given in the scalar case and in the case of integrands with quasiconvex growth and p(x)-growth.

연구 동기 및 목표

• 이차형 함수가 비볼록이거나 ∞의 값을 가질 수 있을 때, 이완 기능에 대한 적분 표현 결과의 부족을 해결하기 위해.
• 매끄럽거나 조각별 애파인 함수에 의한 근사를 피하는 것으로 라브렌티에프 현상을 극복하기 위해.
• 벡터류 경우(m > 1)에서 이완 기능이 적분 표현을 가질 수 있는 조건을 설정하기 위해.
• 측도 이론적 국소화 및 성장 조건을 사용하여 이전의 스칼라 케이스 결과를 벡터류 설정으로 확장하기 위해.
• p > d인 p-강성 조건과 함께 유효 도메인이 볼록인 경우에 대한 적분 표현 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 작은 입방체와 그 커버링에 대한 적분자 함수의 행동을 분석하기 위해 측도 이론적 국소화 기법을 사용한다.
• 측도가 제어된 가로질러진 입방체의 가족을 구성하기 위해 바이탈리 유형의 커버링 추론을 적용한다.
• 작은 집합에서 기울기의 진동에 대한 최소 에너지 비용을 정량화하기 위해 함수 ωδL(ξ)를 사용한다.
• 테스트 함수가 집합 Q 내에서 컴actsupport를 가지는 최소 에너지를 나타내기 위해 mξ(Q) 및 m♯ξ(Q)의 개념을 도입한다.
• 점별 평균의 극한이 유효 도메인을 특징짓는 데 필요한 조건 (A4)를 사용한다.
• 강성 조건 (A1)과 유계성 조건 (A2)을 국소화 추론과 결합하여 에너지 적분의 渐近적 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계이며 비볼록인 다중 적분의 이완 기능이 어떤 조건에서 적분 표현을 가질 수 있는가?
• RQ2 매끄럽거나 조각별 애파인 함수에 의한 근사를 피할 수 있을 때 적분 표현을 달성할 수 있는가?
• RQ3 이차형 함수의 유효 도메인이 볼록일 경우, 이는 벡터류 경우의 이완 과정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 유한성 및 정규성 가정이 없는 상황에서 이차형 함수의 쿼اسي볼록화는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 측도 이론적 국소화 기법이 이 맥락에서 라브렌티에프 현상을 어느 정도 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 가정 하에 domF = {u ∈ W¹,p(Ω;ℝᵐ) : F(u) < ∞} 영역에서 이완 기능 F̅는 적분 표현을 가짐.
• f(x,·)가 비볼록이거나 ∞의 값을 취할 수 있더라도, 이중 적분의 이완 기능은 이차형 함수의 쿼اسي볼록화를 통해 적분 표현을 얻는다.
• 핵심 결과 (8.7)은 lim supε→0 mξ(Qε(x))/εᵈ ≤ L(x,ξ)임을 보여주며, 이는 이완 적분자의 점별 행동이 올바르게 유지됨을 보장한다.
• C¹ 또는 조각별 애파인 함수에 의한 근사를 요구하지 않는 측도 기반 국소화 추론을 사용함으로써 라브렌티에프 현상을 피한다.
• 강성 조건 (A1) 또는 (A2)는 컴팩트 임베딩을 보장하여, p ∈ ]d, ∞]일 때 L∞에서 약한 수렴과 강한 수렴의 등가성을 허용한다.
• (A3), (A4), 및 (A6)의 조합은 유효 도메인이 잘 정의되어 있고 이완 과정과 호환됨을 보장한다.