[논문 리뷰] On the reliable long-term simulation of chaos of Lorenz equation in the interval [0,10000]

Shijun Liao, Peifeng Wang|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 18.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 TH-A1 슈퍼컴퓨터의 1200개 CPU를 사용하여 3500차 테일러 급수 방법과 4180자리 정밀도를 활용해 [0,10000] 동안 로렌츠 혼돈 시스템의 수학적으로 신뢰할 수 있는 장기 시뮬레이션을 수행한다. 이 시뮬레이션은 사상적인 구간 동안 수치적 신뢰성을 달성하지만, 열적 불확실성이 미세한 불확실성을 매크로스코픽 수준의 분리로 증폭시키기 때문에 이러한 예측이 물리적 의미를 지닐 수 없다는 점을 시사한다.

ABSTRACT

Using 1200 CPUs of the National Supercomputer TH-A1 and a parallel integral algorithm based on the 3500th-order Taylor expansion and the 4180-digit multiple precision data, we have done a reliable simulation of chaotic solution of Lorenz equation in a rather long interval [0,10000] (Lorenz time unit). Such a kind of mathematically reliable chaotic simulation has never been reported. It provides us a numerical benchmark for mathematically reliable long-term prediction of chaos. Besides, it also proposes a safe method for mathematically reliable simulations of chaos in a finite but long enough interval. In addition, our very fine simulations suggest that such a kind of mathematically reliable long-term prediction of chaotic solution might have no physical meanings, because the inherent physical micro-level uncertainty due to thermal fluctuation might quickly transfer into macroscopic uncertainty so that trajectories for a long enough time would be essentially uncertain in physics.

연구 동기 및 목표

• 장기간의 간격 동안 로렌츠 방정식의 혼돈 해에 대한 수학적으로 신뢰할 수 있는 시뮬레이션을 달성하는 것.
• 결정론적 시스템에서 혼돈의 장기 예측을 위한 수치 기준을 설정하는 것.
• 수학적으로 신뢰할 수 있는 이러한 시뮬레이션 결과가 내재된 열적 불확실성에 의해 물리적 의미를 유지하는지 조사하는 것.
• 유한하지만 장기간의 시간 간격 동안 혼돈 시스템을 안전하고 고정밀도로 시뮬레이션할 수 있는 계산 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 로렌츠 방정식을 수치적으로 통합하기 위해 3500차 테일러 전개 기반의 병렬 적분 알고리즘을 사용하였다.
• 장기적 통합에서 절삭 오차와 반올림 오차를 최소화하기 위해 4180자리 다중 정밀도 산술을 사용하였다.
• 고성능 계산 처리 능력을 확보하기 위해 국가 슈퍼컴퓨터 TH-A1의 1200개 CPU에서 시뮬레이션을 실행하였다.
• 고차 테일러 급수와 고정밀도 산술을 통해 국소적 및 전반적 오차를 제어함으로써 수학적 신뢰성을 확보하였다.
• 다양한 정밀도 수준과 계산 실행 간의 일관성 검증을 통해 시뮬레이션의 신뢰성을 검증하였다.
• 고차 테일러 방법에서 단계 크기 조절과 오차 추정을 위해 로렌츠 시스템의 구조를 활용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3500차 테일러 전개와 4180자리 정밀도를 사용하여 [0,10000] 동안의 로렌츠 시스템에 대한 수학적으로 신뢰할 수 있는 시뮬레이션을 달성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 장기간 간격에서 수치적 신뢰성을 유지하기 위해 필요한 계산 기법은 무엇인가?
• RQ3 수학적으로 신뢰할 수 있는 장기 궤적의 존재가 혼돈 시스템에서 물리적 예측 가능성과 관련된가?
• RQ4 미세 수준의 열적 불확실성이 장기 결정론적 시뮬레이션의 물리적 관련성에 얼마나 깊이 영향을 미치는가?

주요 결과

• 3500차 테일러 전개와 4180자리 정밀도를 사용하여 [0,10000] 간격에서 수학적으로 신뢰할 수 있는 시뮬레이션을 달성하였으며, 이는 문헌상 최초의 사례이다.
• TH-A1 슈퍼컴퓨터의 1200개 CPU를 활용함으로써 초고정밀도 및 장기 시뮬레이션을 수행할 수 있었다.
• 충분한 정밀도와 병렬 처리가 제공된다면, 혼돈의 장기 예측이 수학적으로 실현 가능하다는 점을 시연하였다.
• 수학적 신뢰성은 달성되었지만, 연구 결과는 미세한 열적 불확실성이 매크로스코픽 수준의 불확실성으로 급격히 증폭됨에 따라 이러한 시뮬레이션 결과가 물리적 의미를 지닐 수 없다는 점을 시사한다.
• 결정론적 혼돈은 신뢰할 수 있게 시뮬레이션될 수 있지만, 충분히 장기간의 스케일에서는 여전히 물리적 시스템이 본질적으로 예측 불가능할 수 있음을 암시한다.
• 이 연구는 신뢰할 수 있는 혼돈 시뮬레이션의 새로운 기준을 설정하였으며, 혼돈 시스템에서 수학적 예측과 물리적 예측 간의 격차를 부각시켰다.