[논문 리뷰] On the representation of an integrated Gauss-Markov process

Mario Abundo|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 23.

Simulation Techniques and Applications참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 가우스-마르코프 과정의 적분을 시간에 따라 변형된 브라운 운동으로 표현함으로써, 그 분포의 명시적 계산과 제1통과시간 분석을 가능하게 한다. 주요 결과는 통합된 과정 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ 가 평균 $ M(T) $ 와 분산 $ \gamma_1(\rho(T)) $ 를 갖는 정규분포를 따르며, $ \gamma_1(\infty) = \infty $ 일 경우 $ M(T) + \widehat{B}(\gamma_1(\rho(T))) $ 로 표현되며, 이는 표준 브라운 운동 $ \widehat{B} $ 를 사용한 시간에 따라 변형된 브라운 운동 표현을 의미한다.

ABSTRACT

We find a representation of the integral of a Gauss-Markov process in the interval [0, t], in terms of Brownian motion. Moreover, some connections with first-passagetime problems are discussed, and some examples are reported.

연구 동기 및 목표

• 가우스-마르코프 과정의 적분을 브라운 운동에 대해 명시적인 표현으로 유도하기.
• 통합된 가우스-마르코프 과정에 대한 제1통과시간 문제의 분석을 가능하게 하기.
• 이전의 통합 브라운 운동에 대한 결과를 더 넓은 범위의 가우스-마르코프 과정으로 일반화하기.
• 신경 활동, 큐잉 이론, 경제학과 같은 분야에서 시간 평균 과정의 분포를 계산하기 위한 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 이토의 공식을 사용하여 $ \int_0^t f(s)B(s)\,ds $ 를 브라운 운동에 대한 확률적 적분으로 표현하기.
• 다마비스, 두빈-슈바르츠 정리를 적용하여 제곱변동이 발산할 경우 적분을 시간에 따라 변형된 브라운 운동으로 표현하기.
• 가우스-마르코프 과정 $ X(t) = m(t) + h_2(t)B(\rho(t)) $ 를 $ B(\rho(s)) $ 를 포함하는 적분 형태로 변환한 후, $ \rho^{-1} $ 를 이용한 측도 전환 수행하기.
• 분산 함수 $ \gamma_1(t) = \int_0^t (R_1(t) - R_1(s))^2\,ds $ 유도하기. 여기서 $ R_1(t) = \int_0^t h_2(\rho^{-1}(s))/\rho'(\rho^{-1}(s))\,ds $.
• 통합된 과정 $ Y(T) $ 가 시간에 따라 변형된 브라운 운동으로 표현될 수 있는 조건 설정하기.
• 제곱변동이 랜덤한 일반화된 가우스-마르코프 과정에 대해, 역시간 변화에 대한 결정론적 엔벨로프를 사용하여 분포에 대한 경계 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우스-마르코프 과정의 적분은 시간에 따라 변형된 브라운 운동으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 통합된 과정 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ 가 알려진 분산 함수를 갖는 정규분포를 따를 조건은 무엇인가?
• RQ3 통합된 과정 $ Y(T) $ 에 대한 제1통과시간 문제는 어떻게 표준 브라운 운동의 제1통과시간 문제로 환원될 수 있는가?
• RQ4 가우스-마르코프 과정에 대해 시간 평균 과정 $ \overline{X}_T = \frac{1}{T} \int_0^T X(s)\,ds $ 의 분포는 무엇인가?
• RQ5 제곱변동이 랜덤한 경우, 적분의 분포는 어떻게 경계될 수 있는가?

주요 결과

• 가우스-마르코프 과정 $ X(t) $ 의 적분 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ 는 평균 $ M(T) = \int_0^T m(s)\,ds $ 와 분산 $ \gamma_1(\rho(T)) $ 를 갖는 정규분포를 따르며, 여기서 $ \gamma_1(t) = \int_0^t (R_1(t) - R_1(s))^2\,ds $ 이고 $ R_1(t) = \int_0^t h_2(\rho^{-1}(s))/\rho'(\rho^{-1}(s))\,ds $ 이다.
• $ \gamma_1(+\infty) = +\infty $ 일 경우, 과정 $ Y(T) $ 는 표준 브라운 운동 $ \widehat{B} $ 를 사용하여 $ M(T) + \widehat{B}(\gamma_1(\rho(T))) $ 로 표현되며, 이는 시간에 따라 변형된 브라운 운동 표현을 확립한다.
• 드리프트가 있는 브라운 운동 $ X(t) = \mu t + B(t) $ 에 대해, 적분 $ Y(T) $ 의 분산은 $ T^3/3 $ 이며, $ \overline{X}_T \sim \mathcal{N}(0, T/3) $ 이다.
• 오르누슈타인-울렌벡 과정의 경우, $ Y(T) $ 의 분산은 $ \gamma_1(\rho(T)) = \frac{\sigma^2 T}{\mu^2(\sigma^2 + 2\mu T)} - \frac{2\sigma^2}{\mu^3\sqrt{1 + 2\mu T/\sigma^2}}\left(\sqrt{1 + 2\mu T/\sigma^2} - 1\right) + \frac{\sigma^2}{2\mu^3}\ln\left(1 + 2\mu T/\sigma^2\right) $ 로 주어진다.
• 브라운 다리 과정의 경우, 분산 $ \gamma_1(\rho(T)) $ 는 $ \int_0^T \left( \frac{T^3 t (2 + T t)}{2(1 + T t)^2} - \frac{T^3 s (2 + T s)}{2(1 + T s)^2} \right)^2 ds $ 로 주어지며, $ \gamma_1(\infty) = \infty $ 이므로 시간에 따라 변형된 표현이 성립한다.
• 제곱변동이 랜덤한 일반화된 가우스-마르코프 과정의 경우, 적분 $ \int_0^T X(s)\,ds $ 는 평균 $ M(T) $ 와 분산이 $ \gamma_1(\alpha(T)) $ 와 $ \gamma_1(\beta(T)) $ 사이로 경계되는 정규분포를 따른다. 여기서 $ \alpha(t) \leq \rho(t) \leq \beta(t) $ 이다.