[논문 리뷰] On the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number

Michael Th. Rassias|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 13인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 소수 $p$ 모듈로 타원곡선 위의 정수점 수를 표현하기 위한 새로운 분석적 방법을 제시한다. 이 방법은 베르누이 수와 리만 제타 함수에서 유도된 유리함수 및 지수합을 사용한다. 특히, $e^{-2\pi i f(x)/p}$를 $S(x)$를 포함하는 유리함수로 표현함으로써, 곡선의 계수와 $f(x)/p$의 분수부에 대한 특정 조건 하에서 $N_p$ — 곡선 위의 점의 수 — 를 직접 지수합을 계산하지 않고도 명시적인 비지수적 공식으로 표현할 수 있게 한다. 주요 기여는 지수합을 직접 계산하지 않고도 $N_p$를 표현하는 데에 새로운 표현 방식을 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

In this paper we shall investigate the problem of the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number p. We present a way of expressing an exponential sum which involves polynomials of third degree, in explicit non-exponential terms. In the process, we present explicit formulas for the calculation of some series involving the Riemann Zeta function.

연구 동기 및 목표

• 소수 $p$ 모듈로 타원곡선 위의 정수점 수를 분석적으로 표현하는 것.
• 지수합 $\sum_{x,y} e^{2\pi i F(x,y)/p}$을 복소지수함수 대신 유리함수로 표현하는 것.
• 베르누이 수와 리만 제타 함수를 사용하여 지수합을 직접 평가하지 않고도 $N_p$에 대한 공식을 유도하는 것.
• 스호프 알고리즘의 계산 비용이 높은 점수 계산 방법에 대한 계산 가능성을 보장하는 대안을 제공하는 것.

제안 방법

• 베르누이 수의 생성함수를 사용하여 $e^{-2\pi i f(x)/p}$의 전개를 유도한다.
• 지수합을 근사하기 위해 $S(x) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) \tilde{f}(x)^{n+1} / p^n$이라는 급수를 도입한다.
• 지수합을 $Q(x) + iR(x)$ 형태의 유리함수로 표현하며, 여기서 $Q$와 $R$는 $S(x)$와 $\tilde{f}(x)$의 유리함수이다.
• $x$에 대한 합을 두 부분으로 나누며, $|f(x)/p| < 1$ 인 경우와 $|f(x)/p| \geq 1$ 인 경우로 나누고, 분수부 $r(x,p)$를 사용한다.
• 두 번째 부분에 대해서는 $e^{-2\pi i f(x)/p}$를 $e^{-2\pi i r(x,p)}$로 재표현하고, $r(x,p)$에 동일한 유리함수 근사를 적용한다.
• 리만 제타 함수의 함수방정식과 감마 함수의 성질을 이용하여 $\zeta(-n)$과 $\zeta(n+1)$ 사이의 관계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수합 $\sum_{x,y} e^{2\pi i (y^2 - x^3 - ax - b)/p}$을 복소지수함수 대신 유리함수로 표현할 수 있는가?
• RQ2 유한체 위의 타원곡선에서 점의 수 $N_p$를 $x,y$에 대한 전체 합을 계산하지 않고 표현할 수 있는가?
• RQ3 분수부 $\{f(x)/p\}$는 지수합의 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $|f(x)| < p$ 인 경우에 $\zeta(n+1)$을 포함하는 급수 $S(x)$가 $e^{-2\pi i f(x)/p}$를 높은 정확도로 근사할 수 있는가?
• RQ5 큰 $p$에 대해 $N_p$의 표현 방식을 계산 가능하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $N_p = 1 + \frac{1}{p} \sum_{m=0}^{p-1} \sum_{y=0}^{p-1} e^{2\pi i m y^2 / p} \left( \sum_{x=0}^L (Q(x) + iR(x))^m + \sum_{x=L+1}^{p-1} (Q_1(x) + iR_1(x))^m \right)$ 형태의 새로운 공식을 유도한다. 여기서 $Q$와 $R$는 $S(x)$와 $\tilde{f}(x)$의 유리함수이다.
• 급수 $S(x) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) \tilde{f}(x)^{n+1} / p^n$은 절대수렴하며 지수합에 대한 좋은 근사를 제공한다.
• 함수 $W(r) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) r^{n+1}$은 $W(r) = \frac{1}{2} r \left( \frac{2r}{1 - r^2} + (r - 1)A_2(r) + (r + 1)B_2(r) \right)$ 형태로 닫힌 형태로 표현되며, 여기서 $A_2(r)$와 $B_2(r)$는 조화수 유사 항들을 포함하는 급수이다.
• 논문은 $\sum_{x=0}^{p-1} Q(x) = 0$ 및 $\sum_{x=0}^{p-1} R(x) = 0$임을 증명하여, 항등식 $p = \sum_{x=0}^{p-1} \frac{2\pi^2 x^2}{(p - 2S(x))^2 + (\pi x)^2}$를 이끌어낸다.
• 분수부 $\{f(x)/p\}$에 대한 하한이 $\{f(x)/p\} \geq \frac{f(x)}{p} - \frac{1}{p} \left( \sum_{m=0}^{\lfloor p/2 \rfloor} \min(p/m, f(x)) + \sum_{m=\lfloor p/2 \rfloor + 1}^{p-1} \min(1/(1 - m/p), f(x)) \right)$ 로 설정된다.
• 이 방법은 전체 지수합을 직접 평가하지 않고도 $S(x)$와 $W(r)$를 기반으로 한 유리함수 근사를 사용하여 $N_p$를 계산할 수 있게 한다.