[논문 리뷰] On the RLWE/PLWE equivalence for cyclotomic number fields

Iván Blanco Chacón|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 29.

Cryptography and Data Security참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원분 수체에서 원분 학습 오차 문제(RLWE)와 다항식 학습 오차 문제(PLWE)의 동치성을 규명하며, 도수의 서로 다른 소인수의 수가 일정할 경우 다항식적 소음 증가를 통해 두 문제는 동치임을 보여준다. 주요 기여는 원분 다항식과 관련된 바르멘드 행렬의 조건수에 대한 일반적인 점점 초과하는 지수적 상界를 도출한 것으로, 이러한 수체에서 RLWE와 PLWE는 다항식적 소음 증가 동안에도 여전히 동치임을 시사한다.

ABSTRACT

We study the equivalence between the Ring Learning With Errors and Polynomial Learning With Errors problems for cyclotomic number fields,namely: we prove that both problems are equivalent via a polynomial noise increase as long as the number of distinct primes dividing the conductor is kept constant. We refine our bound in the case where the conductor is divisible by at most three primes and we give an asymptotic subexponential formula for the condition number of the attached Vandermonde matrix valid for arbitrary degree.

연구 동기 및 목표

• 원분 수체에서 도수의 서로 다른 소인수의 수가 고정된 조건 하에서 RLWE와 PLWE 문제의 동치성을 확립하는 것.
• 도수의 도수가 최대 세 개의 소인수를 가진 경우 원분 다항식과 관련된 바르멘드 행렬의 조건수에 대한 경계를 정밀화하는 것.
• 기존의 원분 다항식 계수에 대한 추정치를 활용하여 임의의 원분 수체에 대해 바르멘드 행렬의 조건수에 대한 점점 초과하는 지수적 상한을 도출하는 것.
• 일반적인 RLWE/PLWE 동치성의 경우를 제곱 자유인 경우로 줄일 수 있으며, 소음 증가에 영향을 주는 것은 도수의 근본적 부분만이므로 차수의 제곱 인자까지의 영향을 고려하는 것.
• 원분 수체에서 표준 임bedding과 좌표 임bedding 간의 왜곡을 정량화하여 다항식 링 모델을 후량자 암호에 응용하는 이론적 기초를 강화하는 것.

제안 방법

• 원분 수체의 정수환과 원분 다항식을 모듈로로 하는 다항식 링 사이의 동형사상 분석을 위해 대수적 수론을 활용한다.
• 비에타의 정리를 적용하여 원분 다항식의 계수를 그 근들로 표현함으로써 바르멘드 행렬의 노름을 정밀하게 제어한다.
• 약수 함수에 대한 산술적 추정과 원분 다항식의 최대 계수에 대한 경계를 적용하며, 특히 바테만의 원분 다항식 최대 계수에 대한 점점 초과하는 지수적 추정을 활용한다.
• 반단(2001)과 블룸(1997)의 결과를 응용하여 도수가 최대 세 개의 소인수로 나누어지는 수체에 대해 조건수 경계를 정밀화한다.
• 원분 다항식의 도함수의 근단위에서의 역수를 통해 바르멘드 행렬 $ V_{ ilde{ ho}} $ 의 조건수에 대한 일반적인 상한을 유도한다.
• 최대 계수 $ A(n) $ 와 소인수 함수 $ ho(n) = ext{rad}(n) $ 의 조합을 통해 조건수에 대한 점점 초과하는 지수적 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 원분 수체에서 RLWE 문제와 PLWE 문제는 동치인가?
• RQ2 원분 다항식과 관련된 바르멘드 행렬의 조건수는 수체의 차수에 따라 어떻게 증가하는가?
• RQ3 RLWE/PLWE 동치성은 2의 거듭제곱 원분 수체를 초월하여 확장될 수 있으며, 이러한 경우 소음 증가 요소는 무엇인가?
• RQ4 원분 다항식의 최대 계수의 점점 초과하는 지수적 증가율은 무엇이며, 이는 관련 바르멘드 행렬의 조건수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일반적인 RLWE/PLWE 동치성의 경우는 소음 증가 측면에서 제곱 자유인 경우로 얼마나 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 도수의 서로 다른 소인수의 수가 유한한 원분 수체에서는 RLWE와 PLWE가 다항식적 소음 증가를 통해 동치이다.
• 도수가 최대 세 개의 서로 다른 소인수로 나누어지는 경우, 바르멘드 행렬의 조건수는 $ 2m^4 $ 이하로 유계이며, 여기서 $ m $ 은 원분 다항식 계수의 절대값의 최댓값이다.
• 일반적인 $ n $ 에 대해 조건수 $ ext{Cond}(V_{ ilde{ ho}}) $ 는 $ ext{O}(n^{n^{rac{1}{ ext{log log } n}} + rac{ ext{log } n}{ ext{log log } n} + 3} e^{n^{rac{1}{ ext{log log } n}}}) $ 이하로 유계이며, 이는 점점 초과하는 지수적 증가를 보여준다.
• 원분 다항식 $ ilde{ ho}_n $ 의 최대 계수 $ A(n) $ 은 임의의 $ \rho > 0 $ 에 대해 $ A(n) \to e^{n^{(1+ ho) ext{log }2/ ext{log log }n}} $ 로 수렴하며, 이는 점점 초과하는 지수적 상한의 기초가 된다.
• 일반적인 RLWE/PLWE 동치성의 경우는 차수의 제곱 인자까지의 영향을 고려하여 제곱 자유인 경우로 줄일 수 있으며, 소음 증가에 영향을 주는 것은 도수의 근본적 부분뿐이다.
• 소인수의 수가 일정할 경우 조건수의 경계는 차수에 대해 다항식적임을 확인하여, 이러한 설정에서 RLWE와 PLWE는 다항식적 소음 증가 동안에도 여전히 동치임을 확인한다.