[논문 리뷰] On the Robust superhedging of measurable claims

Dylan Possamaï, Guillaume Royer외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 비정규화된 확률측도의 클래스에 대해 측정 가능한 지급을 위한 강건한 이중성 결과를 수립하며, 이는 이전 연구를 보완하여 적분 가능성 및 측정 가능성 조건을 약화시킨다. 분석성과 분기 안정성에 기반한 새로운 프레임워크를 도입함으로써, 마팅게일 최적 운반 및 정규화된 마팅게일 제약 조건 하에서의 강건 금융에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The problem of robust hedging requires to solve the problem of superhedging under a nondominated family of singular measures. Recent progress was achieved by [9,11]. We show that the dual formulation of this problem is valid in a context suitable for martingale optimal transportation or, more generally, for optimal transportation under controlled stochastic dynamics.

연구 동기 및 목표

• 측정 가능한 지급에 대해 더 약한 적분 가능성 및 측정 가능성 조건 하에서 강건 슈퍼헤징의 이중성 프레임워크를 확장하는 것.
• 균일화된 마팅게일 측도를 포함하는 설정에서 이전 결과들—특히 Neufeld와 Nutz [9]—의 한계를 해결하는 것.
• 정적 및 동적 거래가 허용되는 마팅게일 최적 운반 문제에 적용 가능한 이중성 결과의 일반화를 제공하는 것.
• 상향 연속적인 분석적 지급에 대해 쿼اسي-확실 조건 하에서 슈퍼헤징 전략의 존재를 확립하는 것.
• 기존 가정을 일반화하면서도 이중성 결과의 타당성을 유지하는 새로운 조건(조건 5.1)을 개발하는 것.

제안 방법

• 분기 안정성과 분석성 및 측정 가능성 조건을 만족하는 새로운 확률측도의 클래스를 도입하며, 이를 $\mathcal{P}$로 표기한다.
• $\mathcal{P}$-쿼اسي-확실(q.s.) 성질의 개념을 사용하여 특이 측도의 가족을 통한 슈퍼헤징을 정의한다.
• 진행적 측정 가능성과 국소화 기법을 활용하여 허용 가능한 거래 전략의 집합 $\mathcal{H}^\xi(\mathcal{P})$를 정의한다.
• 측정 가능한 커널 $\nu^n$으로부터 구성된 $\widetilde{\mathbb{P}}^n$을 이용한 커널 근사 방법을 적용하여 법수렴을 보장한다.
• 일반화된 필터링 $\mathbb{F}^*$와 캐논컬 프로세스 $B$를 이용하여 쿼اسي-확실 조건 하에서 경로 기반의 확률적 적분을 정의한다.
• 분석 집합과 측정 가능한 커널을 이용한 극한 근사 기법을 통해 이중성을 확립하며, Neufeld와 Nutz [9]의 접근을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 더 약한 적분 가능성 및 측정 가능성 조건 하에서 측정 가능한 지급에 대해 강건 슈퍼헤징의 이중성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ2 가족 측도가 균일화된 마팅게일 측도를 만족하는 경우, 이중성 프레임워크는 여전히 유효한가?
• RQ3 Neufeld와 Nutz [9]의 조건을 유지하면서도 이중성과 슈퍼헤징 전략의 존재를 보존할 수 있는가?
• RQ4 기존 가정을 초월하여 이중성 결과의 타당성을 보장하는 가족 측도에 대한 일반 조건이 존재하는가?
• RQ5 정적 및 동적 거래가 허용되는 마팅게일 최적 운반 맥락에서 슈퍼헤징 문제를 어떻게 공식화할 수 있는가?

주요 결과

• 강건 슈퍼헤징 가격 $V(\xi)$는 모든 $\mathbb{P} \in \mathcal{P}$에 대해 $\mathbb{E}^\mathbb{P}[\xi]$의 상한과 일치하며, 원 문제와 이중 문제 사이의 이중성을 수립한다.
• 조건 5.1 하에서 이중성 결과가 성립하며, 이는 조건 3.1보다 엄밀히 더 약한 조건이며, $\mathcal{P}_m$ 및 $\mathcal{P}_b$ 가족을 포함한다.
• 슈퍼헤징 전략의 존재가 보장된다: $\mathcal{P}^\xi$-쿼اسي-확실하게 $X_0 + \int_0^T H_s dB_s \geq \xi$ 를 만족하는 $H \in \mathcal{H}^\xi(\mathcal{P})$ 가 존재한다.
• $\mathcal{P}_b$는 캐논컬 프로세스가 균일화된 마팅게일이 되는 측도의 가족이며, 조건 5.1를 만족하므로 마팅게일 최적 운반에의 응용이 가능하다.
• 커널 근사 및 측정 가능한 선택 기법을 통한 증명 기법은 법수렴을 보장하며, 새로운 측도 가족 하에서 쿼اسي-확실 성질을 유지한다.
• Neufeld와 Nutz [9]의 연구를 보다 일반화하여, 특히 마팅게일 최적 운반 맥락에서 그들의 적분 가능성 및 측정 가능성 조건이 만족되지 않는 경우에도 적용 가능하다.