[논문 리뷰] On the Robustness of Data-Driven Controllers for Linear Systems

Rajasekhar Anguluri, Abed AlRahman Al Makdah외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 21.

Fault Detection and Control Systems참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 학습 데이터의 확률적 교란이 있는 선형 시스템에 대한 데이터 기반 상태 피드백 제어기의 강건성을 정량화하기 위한 확률적 프레임워크를 제안한다. 데이터 기반 제어기 설계 맵의 일계수 근사에 기반하여 스펙트럼 반경이 1을 초과할 확률에 대한 날카운 상한 및 하한을 도출함으로써, 교란 통계, 데이터 크기, 알고리즘 민감도 및 명시적 시스템 특성에 따라 달라지는 안정성 보장을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper proposes a new framework and several results to quantify the performance of data-driven state-feedback controllers for linear systems against targeted perturbations of the training data. We focus on the case where subsets of the training data are randomly corrupted by an adversary, and derive lower and upper bounds for the stability of the closed-loop system with compromised controller as a function of the perturbation statistics, size of the training data, sensitivity of the data-driven algorithm to perturbation of the training data, and properties of the nominal closed-loop system. Our stability and convergence bounds are probabilistic in nature, and rely on a first-order approximation of the data-driven procedure that designs the state-feedback controller, which can be computed directly using the training data. We illustrate our findings via multiple numerical studies.

연구 동기 및 목표

• 적대적 또는 확률적 학습 데이터 오염 상황에서 데이터 기반 제어의 강건성 보장이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 학습 데이터에 대한 표적적 교란이 데이터 기반 제어기를 갖는 피드백 루프 시스템의 안정성에 어떻게 영향을 미치는지 정량화하기 위해.
• 교란 통계, 데이터 크기, 알고리즘 민감도 및 명시적 시스템의 스펙트럼 특성과 연결된 제어기 강건성 프레임워크를 개발하기 위해.
• 학습 데이터에 직접 기반한 계산 가능하고 실용적인 확률적 경계를 제공하기 위해.
• 다양한 데이터 기반 제어 알고리즘 간의 데이터 교란에 대한 민감도를 기반으로 비교 분석을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 학습 데이터에서 제어기 이득 행렬로의 데이터 기반 제어기 설계를 프레셰-미분 가능 맵으로 모델링한다.
• 제어기 맵의 일계수 테일러 전개를 사용하여 입력 데이터 교란에 대한 민감도를 근사한다.
• 제어기 맵의 야코비안을 사용하여 교란된 데이터 하에서 피드백 루프 시스템의 스펙트럼 반경에 대한 확률적 경계를 유도한다.
• 자동 미분와 유사한 기법을 사용하여 학습 데이터로부터 수치적으로 야코비안 행렬 $ J_X $ 를 계산한다.
• 집중 불등식(예: 정규 분포 尾 꼬리 경계)을 적용하여 불안정성 확률의 상한 및 하한을 유도한다.
• 통제된 데이터 오염을 가진 차량 동역학 모델에서 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 프레임워크를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 학습 데이터의 교란 분산과 희소성에 따라 데이터 기반 제어기의 불안정성 확률은 어떻게 변하는가?
• RQ2 학습 데이터셋 크기와 데이터 기반 알고리즘의 민감도에 따라 제어기 강건성은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 명시적 피드백 루프 시스템의 스펙트럼 특성이 교란된 시스템의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 제어기 설계 맵의 일계수 근사는 불안정성에 대한 날카운 의미 있는 확률적 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 다양한 데이터 기반 제어 알고리즘이 데이터 교란에 민감하게 반응할 경우 실질적인 강건성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 불안정성 확률의 상한은 교란 분산이 감소할수록 감소하며, 분산이 충분히 작아지면 0으로 수렴한다.
• 불안정성 확률의 하한은 교란 분산이 증가함에 따라 증가하고, 분산이 커질수록 1에 수렴하여 최악의 상황에서의 불안정성 가능성을 시사한다.
• 알고리즘 민감도를 측정하는 야코비안 노름 $ J_{\text{max}} $ 는 학습 데이터 차원이 증가함에 따라 감소하여 더 큰 데이터셋에서의 강건성 향상을 시사한다.
• 손상된 데이터 포인트 수가 증가함에 따라 불안정성 확률이 증가하는 비율은 시스템 차원과 무관하여 확장성에 대한 핵심 통찰을 제공한다.
• 이론적 경계는 다양한 교란 분산 하에서 몬테카를로 추정치를 날카운하게 반영하여 프레임워크의 정확성을 검증한다.
• 고차원 시스템에서는 상한 경계가 느슨해지므로 향후 연구에서 더 날카운 분석적 경계가 필요함을 시사한다.