[논문 리뷰] On the role of numerical dissipation in stabilising under-resolved turbulent simulations using discontinuous Galerkin methods

Juan Manzanero, Esteban Ferrer외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 26.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 40인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 난류 흐름의 과소해상도 해석을 안정화하기 위해 저손실 리만 해법과 스마고린스키 기반의 SVV 모델을 조합한 새로운 비연속 갈레르킨-스펙트럼 허위 viscositiy(DG-SVV) 방법을 제안한다. 이 방법은 파수수에 따라 조절 가능한 점성으로 수치적 손실을 전략적으로 제어함으로써 난류 영역에서 모든 파수수 범위에 걸쳐 정확한 난류 행동과 충분한 손실을 동시에 달성한다.

ABSTRACT

We analyse numerical errors (dissipation and dispersion) introduced by the discretisation of inviscid and viscous terms in energy stable discontinuous Galerkin methods. First, we analyse these methods using a linear von Neumann analysis (for a linear advection-diffusion equation) to characterise their properties in wave-number space. Second, we validate these observations using the 3D Taylor-Green Vortex Navier-Stokes problem to assess transitional/turbulent flows. We show that the dissipation introduced by upwind Riemann solvers affects primarily high wave-numbers. This dissipation may be increased, through a penalty parameter, until a critical value. However, further augmentation of this parameter leads to a decrease of dissipation, reaching zero for very large values. Regarding the dissipation introduced by second order derivatives, we show that this dissipa- tion acts at low and medium wave-numbers (lower wave-numbers compared to upwind Riemann solvers). In addition, we analyse the Spectral Vanishing Viscosity (SVV) technique, previously used in continuous discretisations (e.g. Fourier), to find that with an appropriate kernel (which damps selected modes) it is possible to control the amount of dissipation introduced in the low and medium wave-number range. Combining these ideas, we finally propose a DG-SVV approach that uses a Smagorinsky model to compute the numerical viscosity. This DG-SVV approach is tested in an isotropic laminar/turbulent under-resolved scenario. Combining the SVV technique with a low dissipation Riemann solver, we obtain a scheme capable of maintaining low dissipation levels for laminar flows, whilst providing the correct dissipation for all wave-number ranges in turbulent regimes.

연구 동기 및 목표

• 과소해상도 난류 흐름에 대한 에너지 안정적인 비연속 갈레르킨(DG) 방법에서의 수치적 손실을 분석하고 제어하는 것.
• 상류 리만 해법, 점성 항, 인위적 점성 기법에서의 파수수 의존적 손실 특성을 평가하는 것.
• 난류 영역에서 낮은 손실을 유지하면서도 충분한 손실을 제공하는 하이브리드 DG-SVV 접근법을 개발하는 것.
• 3D 테일러-그린 와이어브(TGV) 문제를 이용해 Re = 1600 조건에서 전이 및 등방성 감쇠 단계를 검증하는 것.
• 낮은 손실 리만 해법과 파수수 특화된 SVV를 조합함으로써 강력하고 정확한 암시적 대규모 난류 시뮬레이션(iLES)을 가능하게 한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• DG 이산화의 파수수 영역에서의 분산과 손실을 특성화하기 위해 1차원 선형 이동-확산 방정식에 대한 본 네만 분석을 수행한다.
• 상류 리만 해법을 적용하여 주로 고파수수 영역에서 손실을 도입하며, 손실은 최적의 페널티 계수에서 최대에 도달하고 매우 큰 값에서는 감소하여 점차 소멸한다.
• BR1 방법을 통해 두 번째 미분항을 이산화함으로써 저파수수 및 중간파수수 영역에서 손실이 발생함을 분석하며, 리만 해법 효과를 보완한다.
• 파수수 선택 기반 커널을 적용한 스펙트럼 허위 점성(SVV) 기법을 적응시켜 저파수수 및 중간파수수 영역의 손실을 제어한다.
• 스마고린스키 모델을 사용해 수치적 점성 계수를 계산하는 DG-SVV 계획을 제안함으로써 동적이고 스케일 해상 분석이 가능한 손실을 가능하게 한다.
• 세 단계 룬게-쿠타 시간 적분기와 CFL = 0.4를 사용하여 3D 테일러-그린 와이어브 문제를 이용해 계획을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 과소해상도 DG 시뮬레이션에서 상류 리만 해법의 손실은 페널티 계수에 따라 다양한 파수수에서 어떻게 변화하는가?
• RQ2 DG 방법에서 점성 플럭스 이산화에 의해 도입되는 손실의 파수수 분포는 어떠한가?
• RQ3 SVV 기법은 DG 체계에 효과적으로 적응시켜 저파수수 및 중간파수수 영역의 손실을 제어할 수 있는가?
• RQ4 낮은 손실 리만 해법과 스마고린스키 기반의 SVV 모델을 조합할 경우, 과소해상도 난류 시뮬레이션의 정확성과 안정성은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ5 제안된 DG-SVV 계획은 과소해상도 메쉬 시뮬레이션에서 난류 에너지 연쇄에 필요한 충분한 손실을 제공하면서도 난류 흐름에서 낮은 손실을 유지하는 데까지 어느 정도의 정도를 가지는가?

주요 결과

• 상류 리만 해법의 손실은 페널티 계수 증가에 따라 임계 값에 도달할 때까지 증가하며, 이후 감소하여 매우 큰 페널티 값에서는 점차 소멸된다.
• BR1 방법을 통한 점성 항 이산화 방식은 주로 저파수수 및 중간파수수 영역에서 손실을 도입하며, 리만 해법의 고파수수 우세성과는 다릅니다.
• 적절한 커널화가 이루어진 SVV 기법은 저파수수 및 중간파수수 영역에서의 손실 제어를 정확하게 가능하게 하여 과소해상도 시뮬레이션을 효과적으로 안정화시킨다.
• 스마고린스키 기반 점성 모델을 사용한 제안된 DG-SVV 계획은 난류 영역에서 모든 파수수 영역에 걸쳐 충분한 손실을 제공하면서도 난류 흐름에서 낮은 수치적 손실을 유지한다.
• Re = 1600 조건에서 3D 테일러-그린 와이어브 문제를 이용한 수치적 검증을 통해 DG-SVV 접근법이 운동 에너지 감쇠와 비틀림도 진화를 정확히 포착함을 확인하였으며, 수치적으로 도입된 손실 μ ≈ ε/(2ζ)는 기대되는 물리적 행동과 일치한다.
• 낮은 손실 리만 해법과 파수수 특화된 SVV의 조합은 기존의 표준 iLES 접근법에 비해 등방성 과소해상도 난류 시뮬레이션에서 더 높은 정확성과 강건성을 제공한다.