[논문 리뷰] On the SAV-DG method for a class of fourth order gradient flows

Hailiang Liu, Peimeng Yin|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 27.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 제4차 미분류 유동에 대해 스칼라 보조 변수(SAV) 방법과 페널티 없음 불연속 갈레르킨(DG) 공간 이산화를 조합한 하이브리드 SAV-DG 방법을 제안한다. 보조 변수를 조각다항식 공간에서 사전 평가함으로써, 공액 기울기 해법기의 계산 복잡도를 $O(/mathcal{N}^2)$에서 $O(/mathcal{N})$로 감소시켜, 높은 정확도와 뛰어난 성능을 갖는 조건부 에너지 안정성 시뮬레이션을 효율적으로 가능하게 한다. 기존의 전체 증강 또는 표준 감소 시스템에 비해 우월하다.

ABSTRACT

For a class of fourth order gradient flow problems, integration of the scalar auxiliary variable (SAV) time discretization with the penalty-free discontinuous Galerkin (DG) spatial discretization leads to SAV-DG schemes. These schemes are linear and shown unconditionally energy stable. But the reduced linear systems are rather expensive to solve due to the dense coefficient matrices. In this paper, we provide a procedure to pre-evaluate the auxiliary variable in the piecewise polynomial space. As a result, the computational complexity of $O(\mathcal{N}^2)$ reduces to $O(\mathcal{N})$ when exploiting the conjugate gradient (CG) solver. This hybrid SAV-DG method is more efficient and able to deliver satisfactory results of high accuracy. This was also compared with solving the full augmented system of the SAV-DG schemes.

연구 동기 및 목표

• 스웨프트-호헨베르크 및 확장된 페셔-콜모고로프 방정식과 같은 방정식에 의해 지배되는 제4차 미분류 유동을 위한 효율적이고 에너지 안정적인 수치적 방법을 개발하기 위해.
• SAV-DG 스킴에서 발생하는 밀도 높은 선형 시스템을 해결하는 데 드는 높은 계산 비용을 감소시킬 수 있는 감소된 시스템을 해결하기 위해.
• 공액 기울기 해법기의 계산 복잡도를 $O(\mathcal{N}^2)$에서 $O(\mathcal{N})$로 감소시키면서도 무조건적인 에너지 안정성을 유지하기 위해.
• 정확도, 안정성, 효율성 측면에서 하이브리드 SAV-DG 방법, 전체 증강 시스템, 표준 감소 SAV-DG 스킴 간의 성능을 비교하기 위해.

제안 방법

• 스칼라 보조 변수(SAV) 방법과 페널티 없음 불연속 갈레르킨(DG) 공간 이산화를 융합하여 에너지 안정적인 SAV-DG 스킴을 구축하기 위해.
• 보조 변수 $r^{n+1}$을 선형 DG 해법기를 사용하여 조각다항식 공간에서 사전 평가함으로써, 시간에 의존하지 않고 희소한 계수 행렬을 확보하기 위해.
• 희소하고 시간에 의존하지 않는 행렬을 갖는 감소된 선형 시스템을 해결하는 하이브리드 SAV-DG 스킴을 구성하여, 공액 기울기 해법기를 통해 $O(\mathcal{N})$ 복잡도를 달성하기 위해.
• SAV 접근법을 사용하여 비선형 항을 이차 형식으로 변환함으로써, 선형이고 무조건적인 에너지 안정성 시간 이산화를 가능하게 하기 위해.
• 세 가지 스킴을 비교하기 위해: (1) 희소 행렬을 갖는 감소된 SAV-DG, (2) 희소 행렬을 갖는 전체 증강 SAV-DG, (3) 사전 평가된 $r^{n+1}$을 갖는 하이브리드 SAV-DG.
• 하이브리드 방법을 이원 단계 절차로 구현하기 위해: 먼저 선형 DG 해법기를 통해 $r^{n+1}$을 사전 계산하고, 그 다음 결과 선형 시스템을 $O(\mathcal{N})$ 비용으로 해결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제4차 미분류 유동을 위한 SAV-DG 스킴의 계산 비용을 에너지 안정성 손실 없이 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 조각다항식 공간에서 보조 변수를 사전 평가하는 것이 계산 복잡도에 상당한 감소를 이끌 수 있는가?
• RQ3 정확도 및 효율성 측면에서 하이브리드 SAV-DG 방법은 전체 증강 시스템과 표준 감소 SAV-DG 스킴에 비해 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 하이브리드 SAV-DG 방법은 고차 정확도와 무조건적인 에너지 안정성을 유지하면서도 $O(\mathcal{N})$ 계산 복잡도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 보조 변수 $r^{n+1}$을 조각다항식 공간에서 사전 평가함으로써, 하이브리드 SAV-DG 방법은 공액 기울기 해법기의 계산 복잡도를 $O(\mathcal{N}^2)$에서 $O(\mathcal{N})$로 감소시킨다.
• 수치 결과는 하이브리드 SAV-DG 방법이 세 가지 스킴 중에서 가장 우수한 성능을 보이며, CPU 시간이 $O(\mathcal{N})$ 비례로 증가하고, $N=64$일 때 수렴 차수는 약 1.01에 가까운 것으로 나타났다.
• 스웨프트-호헨베르크 및 확장된 페셔-콜모고로프 방정식에 대한 수치 실험을 통해, 이 방법은 높은 정확도를 달성하고 무조건적인 에너지 소산 법칙을 유지함을 확인하였다.
• 하이브리드 SAV-DG 스킴은 표준 감소 SAV-DG(밀도 높은 행렬을 갖는)보다 더 효율적이며, 전체 증강 시스템과 비용이 유사하지만 실질적으로 양자 모두를 능가한다.
• 사전 평가 절차는 계수 행렬이 희소하고 시간에 의존하지 않도록 보장하여, 공액 기울기 해법기를 효율적으로 사용할 수 있도록 한다.