[논문 리뷰] On the Security of Some Compact Keys for McEliece Scheme

Élise Barelli|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 14.

Coding theory and cryptography참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 순열군에 대한 불변 코드 연산을 도입하여, 준주기적 알터너트 코드 기반의 컴act McEliece 체계에 대한 새로운 대수적 키 복구 공격을 제안한다. 기존 코드의 보안이 더 작은 불변 코드의 보안으로 감소함을 보이며, 이는 또한 알터너트 코드이므로, 아핀 선형 변환뿐만 아니라 사영 선형 변환에 의한 자동형사의 적용을 포함하는 통합적이고 단순화된 공격 프레임워크를 가능하게 한다. 또한 원본 코드를 선형 대수학적 방법으로 효율적으로 재구성하는 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we study the security of the key of compact McEliece schemes based on alternant/Goppa codes with a non-trivial permutation group, in particular quasi-cyclic alternant codes. We show that it is possible to reduce the key-recovery problem on the original quasi-cyclic code to the same problem on a smaller code derived from the public key. This result is obtained thanks to the invariant code operation which gives the subcode whose elements are fixed by a permutation in Perm(C). The fundamental advantage is that the invariant subcode of an alternant code is an alternant code. This approach improves the technique of Faugere, Otmani, Tillich, Perret and Portzamparc which uses folded codes of alternant codes obtained by using supports globally stable by an affine map. We use a simpler approach with a unified view on quasi-cyclic alternant codes and we treat the case of automorphisms arising from a non affine homography. In addition, we provide an efficient algorithm to recover the full structure of the alternant code from the structure of the invariant code.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 순열군을 갖는 준주기적 알터너트 코드를 사용하는 컴팩트 McEliece 체계의 보안을 분석하기 위해.
• 접힌 코드 기반 기존 키 복구 공격을 개선하기 위해, 불변 코드를 사용한 더 일반적이고 통합적인 접근 방식을 도입하기 위해.
• 아핀 유도 자동형사 이외의 사영 선형 변환에 의한 자동형사까지도 적용 가능한 키 복구 기법의 적용 범위를 확장하기 위해.
• 선형 대수학적 방법을 통해 불변 코드에서 원본 코드의 구조를 효율적으로 재구성하는 알고리즘을 제공하기 위해.
• 원본 체계의 보안이 더 작은 불변 코드의 보안으로 감소함을 입증하여, 더 높은 저항력을 확보하기 위한 매개변수 선택 가능성을 제시하기 위해.

제안 방법

• σ가 코드의 자동형사군에 속한 순열일 때, c ↦ c − σ(c) 사상의 핵으로서 불변 코드를 정의한다.
• 순서 ℓ인 순열에 대해 준주기적 GRS 또는 알터너트 코드의 불변 코드는 길이 n/ℓ, 축소된 매개변수를 갖는 GRS 또는 알터너트 코드임을 증명한다.
• 사영선 상에서 대수기하학적 시각을 활용하여, 사영선 상에서의 준주기적 알터너트 코드를 통합적으로 다룰 수 있도록 한다.
• 불변 코드 연산이 이전의 접힌 코드 방법과 달리 이중 코드에 작용하는 것과는 달리, 알터너트 구조를 유지함을 보인다.
• 원본 지지집합과 인수를 불변 코드에서 선형 대수학적 알고리즘을 통해 복원하는 방법을 개발하며, 이는 순열이 아핀이 아닐 경우에도 적용 가능하다.
• 아핀 자동형사가 아닌 사영 선형 변환에 의해 유도되는 자동형사, 특히 확장체 상에서 대각화 가능한 경우까지도 공격를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준주기적 알터너트 코드의 키 복구 문제는 순열군에 대한 불변 코드에서 더 작은 등가 문제로 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 불변 코드 연산이 알터너트 구조를 유지함으로써, 접힌 코드보다 더 단순하고 일반적인 공격이 가능해지는가?
• RQ3 이 방법은 아핀 군뿐만 아니라 사영 선형 군에 의해 유도되는 자동형사로도 확장 가능한가?
• RQ4 선형 대수학적 방법을 통해 불변 코드에서 원본 코드의 매개변수(지지집합과 인수)를 얼마나 효율적으로 재구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 키 복구 알고리즘의 계산 비용은 얼마이며, ISD를 통한 메시지 복구와 비교해 볼 때 어떻게 되는가?

주요 결과

• 순서 ℓ인 순열에 대해 준주기적 GRS 코드의 불변 코드는 길이 n/ℓ, 차원 ⌊k/ℓ⌋인 GRS 코드이다.
• 순서 ℓ인 순열에 대해 준주기적 알터너트 코드의 불변 코드는 길이 n/ℓ, 순서 r/ℓ인 알터너트 코드이다.
• 불변 코드 연산은 사영 선형 변환에 의해 유도되는 경우까지 포함하는 준주기적 알터너트 코드 분석을 위한 통합적 프레임워크를 제공한다.
• 불변 코드에서 원본 코드를 재구성하는 데 사용된 알고리즘은 𝔽_{q^m}에서 O(ℓn²(n−k)k)의 연산을 필요로 하며, 실험 결과 (q=2, m=12, n=3600, k=2825, ℓ=3) 조건에서 약 27분이 소요된다.
• 원본 체계의 보안은 더 작은 불변 코드의 보안으로 감소하므로, 불변 코드를 해독하면 원본 체계도 해독된다.
• 적절한 매개변수 선택을 통해 불변 코드에 대한 키 복구 공격의 계산 비용을 높여, 감소된 구조에도 불구하고 보안을 유지할 수 있다.