[논문 리뷰] On the Selmer group attached to a modular form and an algebraic Hecke character

Yara Elias|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 허수 이차체 $K$ 위에서 짝수 무게 $r+2$를 가진 모듈러 형식과 무한대 유형 $(r,0)$인 비분할 대수적 히케 캐릭터 $\psi$에 대해 연결된 세르머 군을 유 bounds하기 위해 일반화된 히케 사이클의 오일러 체계를 구성한다. 베르트리놀리, 다르먼, 프라사나가 도입한 일반화된 히케 사이클을 사용하여, 코리바진의 방법을 고차수 모듈러 형식과 히케 캐릭터에 대해 일반화하고, $p$-진 아벨-자코비 사상의 이미지가 비영 조건 하에 $\mathbb{Q}_p$-차원이 1임을 증명한다. 이는 베일린슨-블로흐-카토 추측을 지지한다.

ABSTRACT

We construct an Euler system of generalized Heegner cycles to bound the Selmer group associated to a modular form and an algebraic Hecke character. The main argument is based on Kolyvagin's machinery explained by Gross while the key object of the Euler system, the generalized Heegner cycles, were first considered by Bertolini, Darmon and Prasanna.

연구 동기 및 목표

• 짝수 무게 $r+2$를 가진 모듈러 형식과 허수 이차체 $K$ 위에서 무한대 유형 $(r,0)$인 비분할 대수적 히케 캐릭터 $\psi$에 연결된 세르머 군을 유 bounds하는 것.
• 베르트리놀리와 다르먼, 네코바르가 적응한 코리바진의 오일러 체계 방법을 일반화된 히케 사이클과 함께 사용하여 고차수 모듈러 형식과 히케 캐릭터에 확장하는 것.
• 베일린슨-블로흐-카토 추측의 예측을 검증하는 것: $L$-함수의 $s = r+1$에서의 영점의 차수와 $p$-진 아벨-자코비 사상의 이미지의 $\mathbb{Q}_p$-차원이 일치한다는 것.
• 코리바진 코homology 클래스의 비자명성과 $p$-진 갈로아 표현의 맥락에서의 국소적 성질을 규명하는 것.

제안 방법

• 베르트리놀리, 다르먼, 프라사나가 도입한 일반화된 히케 사이클을 사용하여, 모듈러 형식과 히케 캐릭터에 관련된 쿠가-사토 다양체 위의 대수적 사이클로 구성된 오일러 체계를 구축한다.
• 베르트리놀리와 다르먼, 네코바르가 적응한 코리바진의 강하법을 $p$-진 아벨-자코비 사상 $\Phi_{f,\psi,K}$에 적용한다. 이 사상은 코호몰로지 군으로의 코호몰로지 군에서의 코드림-차수 사이클의 군으로부터 유도된다.
• 사상 $\Phi_{f,K}: \mathrm{CH}^r(X/K)_0 \to H^1(K, T_p(f))$를 정의하고, 이를 $p$-진 갈로아 표현의 텐서곱 $V_f \otimes V_\psi$로 확장하며, 소수 $\wp$ 위에서 국소화한다.
• 소수 $\ell$ 위의 자리들 $\lambda$에서 코리바진 코homology 클래스 $P(\varphi_n)^\psi$의 국소적 행동을 분석한다. 국소 상호법칙과 프로베니우스 조건을 사용하여 $H^1(K_\lambda^{ur}, V_\wp/p)^\psi$ 코호몰로지 군에서의 이미지를 연구한다.
• 상호법칙을 적용하여, 국소 쌍대화의 합 $\sum_{\lambda|\ell|n} \langle s_\lambda^\psi, \mathrm{res}_\lambda P(\varphi_n)^\psi \rangle_\lambda = 0$을 도출한다. 이는 특정 코homology 클래스의 자명성을 암시한다.
• 모듈 $X_\ell^\psi$ 가 $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell_0 q})^\psi)$ 에 의해 생성됨을 증명하고, $S^{\overline{\psi}}$ 가 $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 위에서 랭크 1임을 보인다. 이는 $P(\varphi_1)^\psi$ 의 비영 조건에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 히케 사이클에 대한 비영 조건 하에, 모듈러 형식과 히케 캐릭터 $\psi$에 관련된 왜곡된 코호몰로지 군 $\mathrm{CH}^r(W/K)_0$ 위의 $p$-진 아벨-자코비 사상의 이미지가 $\mathbb{Q}_p$-차원 1을 가질까?
• RQ2 코리바진의 오일러 체계 방법을 고차수 짝수 무게 $r+2$를 가진 모듈러 형식과 무한대 유형 $(r,0)$인 대수적 히케 캐릭터 $\psi$에 대해 확장할 수 있을까?
• RQ3 코리바진 코호몰로지 클래스 $P(\varphi_n)^\psi$ 는 $\ell$ 및 $q$ 위의 자리들에서 요구되는 국소 자명성과 상호법칙 조건을 만족할까?
• RQ4 $S^{\overline{\psi}}$ 가 $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 위에서 랭크 1을 가지는가? 이는 코리바진 체계가 1차원 코호몰로지 클래스를 생성한다는 것을 의미한다.

주요 결과

• 일반화된 히케 사이클의 비영 조건 하에, $p$-진 아벨-자코비 사상 $\Phi_{f,\psi,K}$ 의 $e_{f,\psi}$-왜곡된 코호몰로지 군 $\mathrm{CH}^r(W/K)_0$ 위의 이미지의 $\mathbb{Q}_p$-차원은 1이다. 즉, $\dim_{\mathbb{Q}_p}(\Phi_{f,\psi,K}(e_{f,\psi} \mathrm{CH}^r(W/K)_0) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p) = 1$ 이다.
• 코리바진 코호몰로지 클래스 $P(\varphi_n)^\psi$ 는 국소 상호법칙을 만족한다: $\sum_{\lambda|\ell|n} \langle s_\lambda^\psi, \mathrm{res}_\lambda P(\varphi_n)^\psi \rangle_\lambda = 0$ 이며, 이는 오일러 체계 구성의 일관성을 보장한다.
• $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_\ell)^\psi$ 의 이미지가 $\omega_\ell$ 에 의해 $X_\ell^\psi$ 에서 자명해지며, 이는 $X_\ell^\psi$ 가 $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell q})^\psi)$ 에 의해 생성됨을 의미한다. 여기서 $\ell \in L(U_0)$ 이다.
• $X_\ell^\psi$ 는 $X_q^\psi$ 에 포함되며, 이는 $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 위에서 랭크 1인 모듈이다. 이는 $\ell_0 \in L(U_0)$ 에 대해 $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell_0 q})^\psi)$ 에 의해 생성된다.
• $S^{\overline{\psi}}$ 는 $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 위에서 랭크 1을 가지며, 이는 $P(\varphi_1)^{\overline{\psi}}$ 의 비영성과 $\{X_\ell^\psi\}_{\ell \in L(U_0)}$ 가 $S^{\mathrm{dual},\psi}$ 를 생성함을 통해 확인된다. 이는 오일러 체계의 비자명성을 확인한다.
• $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_\ell)^\psi$ 와 $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_{\ell q})^\psi$ 는 $H^1(K_\lambda^{ur}, V_\wp/p)^\psi$ 에서 선형 독립이다. 이는 각 자리에서 체계의 풍부성을 보장한다.