[논문 리뷰] On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

Artur Kawalec|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 23.

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한 줄 요약

본 논문은 s=1 근처에서 2차 제타 함수의 Laurent 급전개 계수에 대한 새로운 극한 공식을 도출하고, 그 계수가 급전개에서 정규 부분과 연결됨을 보이며, 브렌트의 정리를 이용한 개선된 수렴으로 계수들을 수치적으로 검증한다.

ABSTRACT

The secondary zeta function is defined as a generalized zeta series over the imaginary parts of non-trivial zeros assuming (RH). This function admits Laurent series expansion at the double pole at $s=1$. In this article, we derive a new formula for the expansion coefficients of the regular part, which is similar to the Stieltjes constants formula for the Riemann zeta function. We also numerically verify and compute the new formula to high precision for several test cases. Lastly, we also apply the Brent's (BPT) Theorem for improving convergence of the main formula.

연구 동기 및 목표

• RH 아래 비자명 제로의 허수부로 정의된 2차 제타 함수를 동기화하고 연구한다.
• s=1에서의 Laurent 급전개에서 정규 부분 계수 C_n에 대한 일반적인 극한 표현을 유도한다.
• 새로운 계수를 기존의 Laurent 급전개 및 이전 결과들과 연결한다.
• 고급 계산 방법을 사용하여 계수들을 높은 정밀도로 수치적으로 검증한다.

제안 방법

• 제로들의 합으로 2차 제타 함수 Z(s)를 정의하고 s=1 근처의 Laurent 급전개를 회상한다.
• 제로들의 합과 점근적 로그 항을 이용한 C_n의 새로운 극한 공식을 유도한다(식(3)).
• 부분적분과 Stieltjes 적분을 통해 계수를 Z(s)의 정규 부분과 연결한다.
• N(T)와 Q(T)를 포함하는 분해를 사용하여 C_n을 로그 보정이 있는 잘린 합의 극한으로 표현한다(식 11–15).
• Bondarenko–Ivić–Saksman–Seip(BIS-S) 전개를 적용하여 적분 항에 대한 수렴 급수와 계수 관계를 도출한다(식 21–26).
• ADR 알고리즘이 Z(s)의 고정밀 계산을 가능하게 하여 C_n의 검증에 어떻게 기여하는지 보여준다(ADR에 대한 논의 및 참조).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Z(s)의 s=1 부근 Laurent 급전개에서 정규 부분의 계수 C_n에 대한 명시적 극한 공식은 무엇인가?
• RQ2 이 계수들이 Z(s)의 기존 급전개와 보조 함수 N(T) 및 Q(T)와 어떻게 연결되는가?
• RQ3 브렌트의 정리를 적용하여 C_n 계산의 수렴성과 오차 한계를 개선할 수 있는가?
• RQ4 작은 n에 대한 C_n의 수치적 검증이 고정밀 계산에서 이론적 결과를 어떻게 확인하는가?

주요 결과

• 계수 C_n에 대한 일반적인 극한 공식이 확립되어: C_n = lim_{T->∞} (-1)^n { sum_{γ<T} log^n(γ)/γ - [log^{n+1}(T) log(T^{n+1}/(2π)^{n+2})]/[2π(n+1)(n+2)] } (n≥0).
• 계수들은 s=1 부근의 Z(s) Laurent 급전개에서 정규 부분과 연결되며 이중 극의 주부분을 보완한다.
• N(T)와 Q(T)를 이용한 표현은 C_n을 상수와 적분항의 합으로 나타내어 급전개를 확인시켜 준다(식 15–26).
• 브렌트의 정리를 적용하여 C_n 계산의 오차 항을 개선하고 수렴 경계를 더 촘촘하게 하였다(E_2(T) = O(log^{m+1}(T)/T^2)).
• 수치 검증은 C_0, C_1, C_2를 직접 합과 개선된 오차 항으로 상당한 정밀도로 계산하여 이론과의 양호한 일치를 보여준다.